กำหนดให้ x < 35°

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

(1) ∠BCD = 50° - x และ ∠ADC = 70° - x

(2) ต่อ AC ออกไปยังจุด P โดยที่ CP = DP   ⇒   ∠BCP = 20° + x

∵ CP = DP   ⇔   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CDP = ∠DCP   ⇔   ∠CDP = 70°   ⇔   ∠CPD = 40°

สังเกตว่า CP = DP และ ∠CPD = 2(∠CBD)   ⇒   จุด P เป็น circumcenter ของ ∆BCD   ⇔   BP = CP = DP

ให้ BP = L   ⇒   CP = L และ DP = L

(3) กำหนดจุด Q ใต้ AD ที่ทำให้ AQ = L และ ∠DAQ = 20° + x

จะเห็นว่า ∆ADQ ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BC, ∠DAQ = ∠BCP, AQ = CP)   ⇒   DQ = BP (= L)   ⇔   DQ = AQ   ⇔   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ADQ = ∠DAQ   ⇔   ∠ADQ = 20° + x   ⇔   ∠AQD = 140° - 2x

(4) ∵ DP = DQ   ⇔   ∆DPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 160°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DPQ = 10° และ ∠DQP = 10°   ⇔   ∠APQ = 30° และ ∠AQP = 130° - 2x (> 60° เพราะ x < 35°)

(5) กำหนดจุด R เป็นภาพสะท้อนของจุด Q ผ่าน AP   ⇒   ∆APR ≅ ∆APQ   ⇒   PR = PQ, AR = AQ = L และ ∠APR = ∠APQ = 30°

∵ PQ = PR และ ∠QPR = 60°   ⇒   ∆PQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   PQ = QR

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠PQR = 60°   ⇔   ∠AQR = 70° - 2x

(6) สังเกตว่า ∆AQR ≅ ∆DPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AQ = DP, AR = DQ, QR = PQ)   ⇒   ∠AQR = ∠DPQ   ⇔   70° - 2x = 10°   ⇔   x = 30°   Q.E.D.

(4) กำหนดจุด R บน AP ที่ทำให้ DR = L   ⇔   DR = DP   ⇔   ∆DPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DRP = ∠DPR   ⇔   ∠DRP = 40°   ⇔   ∠ADR = 40° - x

(5) ∵ DQ = DR และ ∠QDR = 60°   ⇒   ∆DQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   QR = L และ ∠DQR = 60°

∵ AQ = DQ = QR   ⇔   จุด Q เป็น circumcenter ของ ∆ADR   ⇒   ∠DAR = (∠DQR)/2   ⇔   x = 30°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 10°

ให้ AD = L

(1) ∠ACB = 100° และ ∠ADB = 40°

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด D ผ่าน AB   ⇒   ∆ABP ≅ ∆ABD   ⇒   BP = BD, ∠ABP = ∠ABD = 30° และ ∠APB = ∠ADB = 40°

∵ BD = BP และ ∠DBP = 60°   ⇒   ∆BDP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BD = DP

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BDP = ∠BPD = 60°   ⇔   ∠ADP = ∠APD = 20°

(3) กำหนดจุด Q บน AC ที่ทำให้ DQ = L   ⇔   DQ = AD   ⇔   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQD = ∠DAQ   ⇔   ∠AQD = 80°   ⇔   ∠ADQ = 20°   ⇔   ∠BDQ = 20°

(4) สังเกตว่า ∆BDQ ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = DP, ∠BDQ = ∠ADP, DQ = AD)   ⇒   ∠DBQ = ∠APD   ⇔   ∠DBQ = 20°   ⇔   ∠DBQ = ∠BDQ   ⇔   ∆BDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   BQ = DQ   ⇔   BQ = L

พิจารณา ∆BCQ จะได้ว่า ∠BQC = 40°

(5) พิจารณา ∆ABC จะเห็นว่า ∠A = 30°, ∠C = 100° และมีจุด Q บน AC ที่ทำให้ ∠BQC = 40°   ⇒   AC = BQ (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 1-1)   ⇔   AC = L   ⇔   AC = AD   ⇔   ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ADC (= ∠ACD) = 50°   ⇔   ∠BDC = x = 10°   Q.E.D.

(1) ∠ACB = 100° และ ∠ADB = 40°

(2) กำหนดจุด P เป็นจุดตัดระหว่าง AC และ BD

∵ ∠BAP = ∠ABP   ⇔   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   AP = BP

(3) กำหนดจุด Q บน AD ที่ทำให้ PQ = AP   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQP = ∠PAQ   ⇔   ∠AQP = 80°   ⇒   ∠APQ = 20° และ ∠DPQ = 40°

∵ ∠PDQ = ∠DPQ   ⇔   ∆DPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   DQ = PQ   ⇔   DQ = AP

(4) กำหนดจุด R บน PQ ที่ทำให้ AR = AQ   ⇔   ∆AQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARQ = ∠AQR   ⇔   ∠ARQ = 80°   ⇔   ∠ARP = 100°

สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆APR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠BCP = ∠ARP, ∠CBP = ∠APR, BP = AP)   ⇒   CP = AR   ⇔   CP = AQ

(5) ∵ AP = DQ และ CP = AQ   ⇒   AP + CP = DQ + AQ   ⇔   AC = AD   ⇔   ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ADC (= ∠ACD) = 50°   ⇔   ∠BDC = x = 10°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 20°

(1) ∠ACB = 80° และ ∠ADB = 50°

(2) ต่อ CA ออกไปยังจุด P โดยที่ CP = BC   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CBP (= ∠BPC) = 50°   ⇔   ∠ABP = 10°

(3) สังเกตว่า ∆ABD ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠ADB = ∠APB, ∠ABD = ∠ABP, AB = AB)   ⇒   BD = BP   ⇔   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 20°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BPD (= ∠BDP) = 80°   ⇔   ∠CPD = 30°   ⇔  ∠CPD = ∠CBD   ⇔   ☐BCDP สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠DCP = ∠DBP   ⇔   x = 20°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2 (ไม่ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม)

(4) ต่อ PC ออกไปยังจุด Q โดยที่ BQ = BP (= BD)   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQP = ∠BPQ   ⇔   ∠BQP = 50°   ⇔   ∠CBQ = 30°

(5) สังเกตว่า ∆BCD ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = BC, ∠CBD = ∠CBQ, BD = BQ)   ⇒   ∠BDC = ∠BQC   ⇔   ∠BDC = 50°   ⇔   ∠BCD = 100°   ⇔   ∠ACD = x = 20°   Q.E.D.

(1) ∠ADB = 50°

(2) ให้ α = 50°

พิจารณา ☐ABCD จะเห็นว่า ∠BAC = 60°, ∠CAD = 60°, ∠CBD = 30° และ ∠ADB = α   ⇒   ∠BDC = α (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)   ⇔   ∠BDC = 50°

(3) พิจารณา ∆ACD จะได้ว่า ∠ACD = x = 20°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) พิจารณา ☐ACBP จะได้ว่า ∠APB (มุมใหญ่) = 360° - 150°   ⇔   ∠APB (มุมเล็ก) = 150°

(2) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ CQ = AC

จะเห็นว่า ∆CPQ ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CP = CP, ∠PCQ = ∠ACP, CQ = AC)   ⇒   PQ = AP

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CQP = ∠CAP   ⇔   ∠CQP = 20°   ⇔   ∠BPQ = 10°   ⇔   ∠BPQ = ∠PBQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   BQ = PQ   ⇔   BQ = AP

(3) ต่อ PQ ออกไปยังจุด R โดยที่ BR = BP   ⇔   ∆BPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BRP = ∠BPR   ⇔   ∠BRP = 10°   ⇔   ∠PBR = 160°   ⇔   ∠QBR = 150°

(4) สังเกตว่า ∆ABP ≅ ∆BQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = BQ, ∠APB = ∠QBR, BP = BR)   ⇒   ∠ABP = ∠BRQ   ⇔   x = 10°   Q.E.D.

ให้ α = 20°, β = 10° และ γ = 60°   ⇒   α + β + γ = 90°

พิจารณา ∆ABC จะเห็นว่า มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ ∠CAP = α, ∠CBP = β, ∠ACP = γ และ ∠BCP = γ   ⇒   ∠ABP = β (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)   ⇔   x = 10°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) ∠ACB = 80°

(2) กำหนดจุด O เป็น circumcenter ของ ∆ABP   ⇒   ...

     • AO = BO = OP

     • ∠AOP = 2(∠ABP)   ⇔   ∠AOP = 80°

     • ∠BOP = 2(∠BAP)   ⇔   ∠BOP = 20°

∵ AO = BO   ⇔   ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 100°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BAO = ∠ABO = 40°

ให้ BO = L   ⇔   OP = L

(3) ต่อ BP ออกไปพบ AC ที่จุด Q   ⇒   ∠BQC = 80°

สังเกตว่า ∆ABQ ≅ ∆ABO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BAQ = ∠BAO, AB = AB, ∠ABQ = ∠ABO)   ⇒   BQ = BO   ⇔   BQ = L

∵ ∠BQC = ∠BCQ   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   BC = BQ   ⇔   BC = L

(4) ให้ α = 10°

สังเกตว่า ☐BCPO เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี BC = BO = OP, ∠CBO = 120° - 2α และ ∠BOP = 2α   ⇒   ∠BCP = α (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 3)   ⇔   x = 10°   Q.E.D.

(1) ต่อ BP ออกไปพบ AC ที่จุด Q   ⇒   ∠APQ = 50° และ ∠BQC = 80°

∵ ∠BAQ = ∠ABQ   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   AQ = BQ

ให้ BP = a และ PQ = b   ⇒   BQ = a + b   ⇔   AQ = a + b

(2) ต่อ BQ ออกไปยังจุด R โดยที่ AR = a + b   ⇒   ∠AQR = 80°

∵ AQ = AR   ⇔   ∆AQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARQ = ∠AQR   ⇔   ∠ARQ = 80°   ⇔   ∠QAR = 20°

(3) ∵ ∠PAR = ∠APR   ⇔   ∆APR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   ⇔   PR = AR   ⇔   PR = a + b   ⇔   QR = a

จะเห็นว่า ∆BCQ ≅ ∆AQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠CBQ = ∠QAR, BQ = AQ, ∠BQC = ∠AQR)   ⇒   CQ = QR   ⇔   CQ = a

(4) พิจารณา ∆BCQ จะเห็นว่า ∠B = 20°, ∠Q = 80° และมีจุด P บน BQ ที่ทำให้ BP = CQ   ⇒   ∠BCP = 10° (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)   ⇔   x = 10°   Q.E.D.