โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 15°
พิสูจน์
(1) ∠BCD = 90° - 5x
(2) ต่อ CD ออกไปยังจุด P โดยที่ DP = CD ⇒ ∆ADP ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BD, ∠ADP = ∠BDC, DP = CD) ⇒ AP = BC และ ∠DAP = ∠CBD (⇔ ∠DAP = 2x)
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∆BDP ≅ ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = AD, ∠BDP = ∠ADC, DP = CD) ⇒ ∠BPD = ∠ACD ⇔ ∠BPD = 2x
(3) ต่อ BA ออกไปยังจุด Q โดยที่ ∠BQC = 2x ⇔ ∠BQC = ∠CBQ ⇔ ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ CQ = BC ⇔ CQ = AP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BQC = ∠BPC ⇔ ☐BCQP สามารถแนบในวงกลมได้ ⇔ ∠BQP = ∠BCP ⇔ ∠BQP = 90° - 5x
(4) พิจารณา ∠BAQ จะได้ว่า ∠CAQ = 90° - x
พิจารณา ∆ACQ จะได้ว่า ∠ACQ = 90° - x ⇔ ∠ACQ = ∠CAQ ⇔ ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด ⇔ AQ = CQ ⇔ AQ = AP ⇔ ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด ⇔ ∠APQ = ∠AQP ⇔ ∠APQ = 90° - 5x
พิจารณา ∆APQ จะได้ว่า ∠APQ + ∠AQP = ∠BAP ⇔ (90° - 5x) + (90° - 5x) = 2x ⇔ x = 15° Q.E.D.