╠╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╣
❀❀❀ ท ร ง พ ร ะ เ จ ริ ญ ❀❀❀
╠╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╣
โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์
(1) กำหนดจุด P เป็นจุดตัดระหว่าง AC และ BD ⇒ ∠ADP = 80° และ ∠BPC = 60°
(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ = BP ⇔ ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ ∠BQP = ∠PBQ ⇔ ∠BQP = 40° ⇒ ∠APQ = 20° และ ∠AQP = 140°
∵ ∠PAQ = ∠APQ ⇔ ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด ⇔ AQ = PQ
(3) กำหนดจุด R บน AD ที่ทำให้ PR = DP ⇔ ∆DPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ ∠DRP = ∠PDR ⇔ ∠DRP = 80° ⇔ ∠APR = 40° ⇔ ∠APR = ∠PAR ⇔ ∆APR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด ⇔ AR = PR
(4) สังเกตว่า ∆PQR ≅ ∆AQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (PQ = AQ, PR = AR, QR = QR) ⇒ ∠PQR (= ∠AQR) = (∠AQP)/2 = 70°
(5) สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆PQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠CBP = ∠PQR, BP = PQ, ∠BPC = ∠QPR) ⇒ CP = PR ⇔ CP = DP ⇔ ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ ∠CDP = ∠DCP ⇔ ∠CDP = x
∵ ∠DCP + ∠CDP = ∠BPC ⇔ x + x = 60° ⇔ x = 30° Q.E.D.