Fun Geometry Problem with Solution #22
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 150° และ y = 30°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า ∠APC = x = 180° - (α + β)

(2) ∵ AC = BC      ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      ∠ABC = ∠BAC      ∠ABC = 90° - 2β      ∠ABP = y = 90° - 2(α + β)

(3) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ CQ ⊥ AB และให้จุด R เป็นจุดตัดระหว่าง CQ และ BP   
∵ CQ ⊥ AB      CQ เป็นส่วนสูงของ ∆ABC      ∠ACR (= ∠BCR) = 2β      ∠PCR = β      ∠PCR = ∠ACP
พิจารณา ∆BCR จะได้ว่า ∠BRC = 180° - 2(α + β)
จะเห็นว่า ∆ACR  ∆BCR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BC, ∠ACR = ∠BCR, CR = CR)      ∠CAR = ∠CBR      ∠CAR = 2α      ∠PAR = α      ∠PAR = ∠PAC
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ARC = ∠BRC      ∠ARC = 180° - 2(α + β)

(4) พิจารณา ∆ACR จะเห็นว่า มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ AP และ CP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠CAR และ ∠ACR ตามลำดับ      จุด P เป็น incenter ของ ∆ACR      PR เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ARC      ∠CRP = (∠ARC)/2 = 90° - (α + β)
∵ ∠BRC + ∠CRP = 180°      [180° - 2(α + β)] + [90° - (α + β)] = 180°   ⇔   α + β = 30°      x = 150° และ y = 30°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 27 มิถุนายน 2557
Last Update : 4 กรกฎาคม 2558 0:17:00 น.
Counter : 775 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog