Fun Geometry Problem with Solution #92
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า cos20° = cos40° + cos80° และ 4cos320° - 3cos20° = cos60°
พิสูจน์



โดยไม่สูญเสียสาระสำคัญของกรณีทั่วไป เราสามารถสมมติให้ AB = 1

(1) ∵ AC = BC      ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 20°) เป็นมุมยอด      ∠BAC = ∠ABC = 80°

(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ BP = 1      BP = AB      ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด      ∠APB = ∠BAP      ∠APB = 80°      ∠ABP = 20°      ∠CBP = 60° และ ∠BPC = 100°

(3) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ PQ = 1      PQ = BP
∵ BP = PQ และ ∠PBQ = 60°      ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า      BQ = 1
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPQ = 60°      ∠CPQ = 40° และ ∠CQP = 120°

(4) กำหนดจุด R บน CP ที่ทำให้ QR = 1      QR = PQ      ∆PQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด      ∠PRQ = ∠QPR      ∠PRQ = 40°      ∠PQR = 100°      ∠CQR = 20°      ∠CQR = ∠QCR      ∆CQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด      CR = QR      CR = 1

(5) กำหนดจุด S บน AC ที่ทำให้ BS = CS      ∆BCS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠S เป็นมุมยอด      ∠CBS = ∠BCS      ∠CBS = 20°      ∠PBS = ∠BSP = 40°      ∆BPS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 100°) เป็นมุมยอด      PS = BP      PS = 1

พิจารณา ∆CQR ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว เมื่อลากส่วนสูง RT จะได้ว่า ∆CRT และ ∆QRT เป็น ∆มุมฉาก ที่เท่ากันทุกประการ
โดยนิยามของ cosine ใน ∆มุมฉาก จะได้ CT = QT = cos20°      CQ = 2cos20°
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ ∆PQR และ ∆ABP จะได้ PR = 2cos40° และ AP = 2cos80° ตามลำดับ
ในทางกลับกัน สำหรับ ∆ABC และ ∆BCS จะได้ AC = 1/(2cos80°) และ CS = 1 + 1/(2cos20°) ตามลำดับ

∵ AC = BC      AP + PR + CR = BC      2cos80° + 2cos40° + 1 = 1 + 2cos20°      cos20° = cos40° + cos80°   Q.E.D.
นอกจากนั้น ยังได้ว่า 1/(2cos80°) = 1 + 2cos20°      2cos80° = 1/(1 + 2cos20°)      AP = 1/(1 + 2cos20°)      AC - CS - PS = 1/(1 + 2cos20°)      BC - CS - PS = 1/(1 + 2cos20°)      (1 + 2cos20°) - [1 + 1/(2cos20°)] - 1 = 1/(1 + 2cos20°)      4cos320° - 3cos20° = 1/2      4cos320° - 3cos20° = cos60°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 22 มกราคม 2558
Last Update : 22 มกราคม 2558 0:00:00 น.
Counter : 629 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog