โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์ 1
(1) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ CP = BC (= AD) ⇔ ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ ∠BPC = ∠CBP ⇔ ∠BPC = 48° ⇒ ∠ACP = 30° และ ∠APC = 132°
(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน AC ⇒ ∆ACQ ≅ ∆ACP ⇒ CQ = CP, ∠CAQ = ∠CAP = 18° และ ∠ACQ = ∠ACP = 30°
(3) ∵ CP = CQ และ ∠PCQ = 60° ⇒ ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ PQ = CP (= AD), ∠CPQ = 60° (⇔ ∠APQ = 72°) และ ∠CQP = 60°
(4) สังเกตว่า CQ = DQ = PQ ⇔ จุด Q เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆CDP แนบใน ⇒ ∠CDP = (∠CQP)/2 ⇔ x = 30° Q.E.D.
พิสูจน์ 2
(1) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ CP = BC (= AD) ⇔ ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ ∠BPC = ∠CBP ⇔ ∠BPC = 48° ⇔ ∠ACP = 30°
(2) ให้ AC = a และ CP = b (⇔ AD = b)
กำหนดจุด Q เหนือ AD ที่ทำให้ AQ = DQ = a
⇒ ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มีฐานยาว b และด้านประกอบมุมยอดยาว a ⇒ ∠AQD = 24° (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์) ⇔ ∠DAQ (= ∠ADQ) = 78°
⇔ ∠CAQ = 60°
(3) ∵ AC = AQ และ ∠CAQ = 60° ⇒ ∆ACQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ CQ = a
สังเกตว่า AQ = CQ = DQ ⇔ จุด Q เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน ⇒ ∠ACD = (∠AQD)/2 ⇔ ∠ACD = 12° ⇔ ∠BDC = x = 30° Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
