จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) ∠ABC = 180° - 10x และ ∠ADB = 3x

(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ DP = CD   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   ∠CPD = ∠DCP   <=>   ∠CPD = 2x   <=>   ∠ADP = x   <=>   ∠ADP = ∠DAP   <=>   ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   AP = DP

(3) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ AQ = AB (= CD = DP = AP)   <=>   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   <=>   ∠AQB = ∠ABQ   <=>   ∠AQB = 180° - 10x   <=>   ∠BAQ = 20x - 180°   <=>   ∠PAQ = 180° - 12x

∵ ∠AQB = 180° - 10x   <=>   ∠AQD = 10x

(4) ∵ AP = AQ   <=>   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 180° - 12x) เป็นมุมยอด   <=>   ∠AQP (= ∠APQ) = 6x   <=>   ∠DQP = 4x   <=>   ∠DQP = ∠PDQ   <=>   ∆DPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   PQ = DP   <=>   PQ = AP = AQ

∴ ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠AQP = 60°   <=>   6x = 60°   <=>   x = 10°   Q.E.D.

หมายเหตุ ค่า x = 10° ที่หาได้นี้ ถือเป็นคำตอบที่สมเหตุสมผล สอดคล้องกับการกำหนดจุด Q ใน (3) เนื่องจากเราได้ให้จุด Q อยู่บน BC ก็เท่ากับเราสมมติว่า ∠ABC ไม่เป็นมุมป้าน   <=>   180° - 10x ≤ 90°   <=>   x ≥ 9°

แต่ถ้าสมมติว่า ∠ABC เป็นมุมป้าน   <=>   x < 9° จะทำให้จุด Q เปลี่ยนไปอยู่บนส่วนต่อขยายของ CB แทน และเมื่อพิสูจน์ต่อในทำนองเดียวกัน ก็จะได้ x = 10° เหมือนเดิม แต่ค่า x ที่หาได้นี้ไม่อยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ นั่นคือเกิดข้อขัดแย้งขึ้น จึงสรุปได้ว่า ∠ABC ไม่เป็นมุมป้าน