Fun Geometry Problem with Solution #45
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์



(1) ABC = 180° - 10x และ ADB = 3x

(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ DP = CD   <=>   CDP เป็น หน้าจั่ว ที่มี D เป็นมุมยอด   <=>   CPD = DCP   <=>   CPD = 2x   <=>   ADP = x   <=>   ADP = DAP   <=>   ADP เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   <=>   AP = DP

(3) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ AQ = AB (= CD = DP = AP)   <=>   ABQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี A เป็นมุมยอด   <=>   AQB = ABQ   <=>   AQB = 180° - 10x   <=>   BAQ = 20x - 180°   <=>   PAQ = 180° - 12x
AQB = 180° - 10x   <=>   AQD = 10x

(4)  AP = AQ   <=>   APQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี A (= 180° - 12x) เป็นมุมยอด   <=>   AQP (= APQ) = 6x   <=>   DQP = 4x   <=>   DQP = PDQ   <=>   DPQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   <=>   PQ = DP   <=>   PQ = AP = AQ
APQ เป็น ด้านเท่า   =>   AQP = 60°   <=>   6x = 60°   <=>   x = 10°   Q.E.D.

หมายเหตุ ค่า x = 10° ที่หาได้นี้ ถือเป็นคำตอบที่สมเหตุสมผล สอดคล้องกับการกำหนดจุด Q ใน (3) เนื่องจากเราได้ให้จุด Q อยู่บน BC ก็เท่ากับเราสมมติว่า ABC ไม่เป็นมุมป้าน   <=>   180° - 10x ≤ 90°   <=>   x ≥ 9°
แต่ถ้าสมมติว่า ABC เป็นมุมป้าน   <=>   x < 9° จะทำให้จุด Q เปลี่ยนไปอยู่บนส่วนต่อขยายของ CB แทน และเมื่อพิสูจน์ต่อในทำนองเดียวกัน ก็จะได้ x = 10° เหมือนเดิม แต่ค่า x ที่หาได้นี้ไม่อยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ นั่นคือเกิดข้อขัดแย้งขึ้น จึงสรุปได้ว่า ABC ไม่เป็นมุมป้าน



Create Date : 04 กันยายน 2557
Last Update : 4 กันยายน 2557 0:02:01 น.
Counter : 599 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog