Fun Geometry Problem with Solution #134
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 20°
พิสูจน์ 1



(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC      ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      AC = BC

(2) กำหนดจุด Q เหนือ AB ที่ทำให้ AQ = BQ = AB      ∆ABQ เป็น ∆ด้านเท่า      ∠BAQ = 60° ( ∠PAQ = 30°), ∠ABQ = 60° (⇔ ∠PBQ = 20°) และ ∠AQB = 60°

♦ สังเกตว่า ∆BCQ  ∆ACQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = AC, BQ = AQ, CQ = CQ)      ∠BQC (= ∠AQC) = (∠AQB)/2 = 30°

♦ สังเกตว่า ∆APQ  ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠PAQ = ∠BAP, AQ = AB)      ∠AQP = ∠ABP      ∠AQP = 40°      ∠BQP = 20°      ∠CQP = 10°

(3) ∵ ∠CBP = ∠CQP      ☐BPCQ สามารถแนบในวงกลมได้      ∠BCP = ∠BQP      x = 20°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2 (ไม่ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม)


(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC      ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      AC = BC

(2) กำหนดจุด Q เหนือ AB ที่ทำให้ AQ = BQ = AB      ∆ABQ เป็น ∆ด้านเท่า      ∠BAQ = 60° ( ∠PAQ = 30°), ∠ABQ = 60° ( ∠CBQ = 10°) และ ∠AQB = 60°

♦ สังเกตว่า ∆BCQ  ∆ACQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = AC, BQ = AQ, CQ = CQ)      ∠BQC (= ∠AQC) = (∠AQB)/2 = 30°

♦ สังเกตว่า ∆APQ  ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠PAQ = ∠BAP, AQ = AB)      PQ = BP      ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด      ∠BQP = ∠PBQ      ∠BQP = 20°      ∠CQP = 10°

(3) ต่อ QC ออกไปยังจุด R โดยที่ ∠BRQ = 100°      ∠BCR = 40°
พิจารณา ∆BQR จะเห็นว่า ∠Q = 30°, ∠R = 100° และมีจุด C บน QR ที่ทำให้ ∠BCR = 40°      BC = QR (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 1-1)

(4) สังเกตว่า ∆PQR  ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (PQ = BP, ∠PQR = ∠CBP, QR = BC)      ∠PRQ = ∠BCP      ∠PRQ = x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า PR = CP      ∆CPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด      ∠PCR = ∠CRP      ∠PCR = x

(5) ∵ ∠BCP + ∠PCR = ∠BCR      x + x = 40°      x = 20°   Q.E.D.

พิสูจน์ 3



(1) ต่อ BP ออกไปพบ AC ที่จุด Q
พิจารณา ∆ABQ จะได้ว่า ∠AQB = 90°      BP ⊥ AC

(2) ให้ α = 10°
พิจารณา ∆ABC จะเห็นว่า มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ BP ⊥ AC, ∠BAP = 30°, ∠CAP = 30° - α และ ∠CBP = α      ∠BCP = 2α (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)      x = 20°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 28 พฤษภาคม 2558
Last Update : 14 มิถุนายน 2558 4:00:00 น.
Counter : 507 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog