Fun Geometry Problem with Solution #123
======================================
ริ
======================================

โจทย์

จงพิสูจน์ว่า sin20° + sin40° = sin80° โดยใช้วิธีทางเรขาคณิต

พิสูจน์



(1) สร้าง ∆ABC โดยที่ AB = BC = L และ ∠B = 80°
∴ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 80°) เป็นมุมยอด      ∠BAC = ∠ACB = 50°

(2) สร้าง ∆CDE โดยที่ CD = DE = L, ∠D = 40° และจุด E อยู่บนส่วนต่อขยายของ AC
∴ ∆CDE เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 40°) เป็นมุมยอด      ∠DCE = ∠CED = 70°

(3) พิจารณาจุด C จะได้ว่า ∠BCD = 60°
∵ BC = CD (= L) และ ∠BCD = 60°      ∆BCD เป็น ∆ด้านเท่า      BD = L และ ∠CBD = ∠BDC = 60°

(4) กำหนดจุด F ใต้ BD ที่ทำให้ ☐ABDF เป็น ☐ขนมเปียกปูน      AF = DF = L, ∠BAF = 40° ( ∠EAF = 10°) และ ∠BDF = 40° ( ∠CDF = 20°)

(5) สังเกตว่า DE = DF (= L) และ ∠EDF = 60°      ∆DEF เป็น ∆ด้านเท่า      EF = L      EF = AF      ∆AEF เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠F เป็นมุมยอด

พิจารณา ∆ABC ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว เมื่อลากส่วนสูง BH จะได้ว่า ∆ABH และ ∆BCH เป็น ∆มุมฉาก ที่เท่ากันทุกประการ
โดยนิยามของ cosine ใน ∆มุมฉาก จะได้ AH = CH = Lcos50°      AC = 2Lcos50°
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ ∆CDE และ ∆AEF จะได้ CE = 2Lcos70° และ AE = 2Lcos10° ตามลำดับ

∵ AC + CE = AE      2Lcos50° + 2Lcos70° = 2Lcos10°      cos70° + cos50° = cos10°      sin20° + sin40° = sin80°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 25 เมษายน 2558
Last Update : 25 เมษายน 2558 15:55:51 น.
Counter : 543 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog