โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์
(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 100° <=> ∠BCP = 60°
(2) กำหนดจุด Q ภายใน ∆ABP ที่ทำให้ ∠BAQ = 10° และ ∠ABQ = 10° <=> ∠PAQ = 10° และ ∠CBQ = 40°
∵ ∠BAQ = ∠ABQ <=> ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠Q เป็นมุมยอด <=> AQ = BQ
(3) กำหนดให้ α = 20°
สังเกตว่า ☐ACBQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AQ = BQ, ∠A = α, ∠B = 2α และ ∠C = 120° - α => BC = BQ (คลิกเพื่อดูวิธีการพิสูจน์ในโจทย์ 3) <=> ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠B (= 40°) เป็นมุมยอด <=> ∠BCQ (= ∠BQC) = 70° <=> ∠PCQ = 10° <=> ∠PCQ = ∠PAQ <=> ☐ACPQ สามารถแนบในวงกลมได้ <=> ∠CQP = ∠CAP <=> ∠CQP = 10° ∴ ∠PCQ = ∠CQP <=> ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠P เป็นมุมยอด <=> CP = PQ
สังเกตว่า ∆BPQ ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BQ = BC, PQ = CP, BP = BP) => ∠PBQ (= ∠PBC) = (∠CBQ)/2 = 20° <=> ∠ABP = x = 30° Q.E.D.
หมายเหตุ ในตอนแรก เราสามารถแสดงว่าจุด Q อยู่ใน ∆ABP แน่ๆ (หรือแสดงว่า x > 10° แน่ๆ) ได้ดังนี้
สมมติว่า x ≤ 10° แล้วจะทำให้จุด Q อยู่ใน ∆BCP หรืออยู่บน BP
ผลก็คือ ∠BCQ < ∠BCP หรือ 70° < 60° ซึ่งเป็นไปไม่ได้
เพราะฉะนั้น x > 10°
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
