Fun Geometry Problem with Solution #29
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 100°   <=>   ∠BCP = 60°

(2) กำหนดจุด Q ภายใน ∆ABP ที่ทำให้ ∠BAQ = 10° และ ∠ABQ = 10°   <=>   ∠PAQ = 10° และ ∠CBQ = 40°
∵ ∠BAQ = ∠ABQ   <=>   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   AQ = BQ

(3) กำหนดให้ α = 20°
สังเกตว่า ☐ACBQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AQ = BQ, ∠A = α, ∠B = 2α และ ∠C = 120° - α   =>   BC = BQ (คลิกเพื่อดูวิธีการพิสูจน์ในโจทย์ 3)   <=>   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠B (= 40°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BCQ (= ∠BQC) = 70°   <=>   ∠PCQ = 10°   <=>   ∠PCQ = ∠PAQ   <=>   ☐ACPQ สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠CQP = ∠CAP   <=>   ∠CQP = 10°
∴ ∠PCQ = ∠CQP   <=>   ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   CP = PQ
สังเกตว่า ∆BPQ  ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BQ = BC, PQ = CP, BP = BP)   =>   ∠PBQ (= ∠PBC) = (∠CBQ)/2 = 20°   <=>   ∠ABP = x = 30°   Q.E.D.

หมายเหตุ ในตอนแรก เราสามารถแสดงว่าจุด Q อยู่ใน ∆ABP แน่ๆ (หรือแสดงว่า x > 10° แน่ๆ) ได้ดังนี้
สมมติว่า x ≤ 10° แล้วจะทำให้จุด Q อยู่ใน ∆BCP หรืออยู่บน BP 
ผลก็คือ ∠BCQ < ∠BCP หรือ 70° < 60° ซึ่งเป็นไปไม่ได้
เพราะฉะนั้น x > 10°



Create Date : 18 กรกฎาคม 2557
Last Update : 18 กรกฎาคม 2557 0:00:54 น.
Counter : 680 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog