Fun Geometry Problem with Solution #40
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 18°
พิสูจน์ (โดยคุณ skytin)



(1)  AC = AD = CD   <=>   ACD เป็น ด้านเท่า   <=>   ∠CAD = ∠ACD = ∠ADC = 60°
∵ ADC = 60° และ ∠ADB = 6°   =>   BDC = 54°

(2) สร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า PQRST ขึ้นมา แล้วสร้าง ด้านเท่า PTX และ ด้านเท่า RSY โดยให้จุด X และจุด Y อยู่นอกรูปห้าเหลี่ยม
จะได้ว่า PX = TX = ST = SY, TSY = STX = 168° และ PXT = RYS = 60°
 SY = TX และ TSY = STX   =>   STXY เป็น คางหมูหน้าจั่ว ที่มี ST และ XY เป็นด้านคู่ขนาน   =>   ST // XY   <=>   TSY + SYX = 180°   <=>   TSY + 168° = 180°   <=>   TSY = 12°
 ST = SY   <=>   STY เป็น หน้าจั่ว ที่มี S (= 168°) เป็นมุมยอด   <=>   SYT (= STY) = 6°   <=>   TYX = 6°
สังเกตว่า PY เป็นเส้นสมมาตรของรูปหกเหลี่ยม PQRYST   =>   PYS = (RYS)/2 = 30°  <=>   PYX = 18°

(3) สร้าง ด้านเท่า XYZ ขึ้นมา โดยให้จุด S อยู่ภายในสามเหลี่ยม
จะได้ว่า XY = XZ และ YXZ = XYZ = XZY = 60°
XYZ = 60° และ TYX = 6°   =>   TYZ = 54°
YXZ = 60°   <=>   YXZ = PXT   <=>   TXY + TXZ = PXY + TXY   <=>   TXZ = PXY

(4) สังเกตว่า TXZ  PXY ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (TX = PX, TXZ = PXY, XZ = XY)   =>   TZX = PYX   <=>   TZX = 18°

(5) สร้างวงกลมล้อมรอบ TXZ แล้วต่อ YT ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด W   =>   TXWZ สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   TWX = TZX   <=>   TWX = 18°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า WZX = WTX   <=>   WZX = TXY + TYX = 18°

(6) สังเกตว่า... 
     • ACD ~ XYZ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ม (CAD = YXZ, ACD = XZY, ADC = XYZ)   =>   AC/XZ = AD/XY = CD/YZ = k (ค่าคงที่)
     • ABD ~ WXY ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ม (BAD = WXY, ABD = YWX, ADB = WYX)   =>   BD/WY = AD/XY   <=>   BD/WY = k
     • BCD ~ WYZ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD/WY = k, BDC = WYZ, CD/YZ = k)   =>   BCD = WZY   <=>   60° + x = 60° + 18°   <=>   x = 18°   Q.E.D.



Create Date : 20 สิงหาคม 2557
Last Update : 20 สิงหาคม 2557 0:48:01 น.
Counter : 770 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog