โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์
(1) ∠CAP = 30° - x และ ∠APB = 150° - x
(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABP แนบใน <=> AO = BO = OP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AOP = 2(∠ABP) และ ∠BOP = 2(∠BAP) <=> ∠AOP = 60° และ ∠BOP = 2x
∵ AO = OP และ ∠AOP = 60° => ∆AOP เป็น ∆ด้านเท่า => AP = OP
∵ BO = OP <=> ∆BOP เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O (= 2x) เป็นมุมยอด <=> ∠BPO (= ∠OBP) = 90° - x
(3) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ AP (= OP) = PQ <=> ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด <=> ∠AQP = ∠PAQ <=> ∠AQP = 30° - x <=> ∠APQ = 120° + 2x <=> ∠BPQ = 90° - x
(4) สังเกตว่า ∆BPQ ≅ ∆BOP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (PQ = OP, ∠BPQ = ∠BPO, BP = BP) => ∠BQP = ∠BOP <=> ∠BQP = 2x <=> ∠BQP = ∠BCP <=> ☐BPCQ สามารถแนบในวงกลมได้ <=> ∠CQP = ∠CBP <=> 30° - x = 20° <=> x = 10° Q.E.D.