โจทย์
จงพิสูจน์ว่า AB = CD
พิสูจน์
(1) ∠CBD = 10° <=> ∠ABC = 80° <=> ∠ABC = ∠BAC <=> ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด <=> AC = BC
(2) กำหนดจุด P ทางด้านขวาของ AC ที่ทำให้ AC = AP = CP <=> ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า => ∠CAP = ∠ACP = ∠APC = 60°
∵ ∠CAP = 60° <=> ∠BAP = 20° <=> ∠BAP = ∠BCD
∵ AP = AC <=> AP = BC
∵ ∠ACP = 60° <=> ∠BCP = 40°
∵ BC = AC <=> BC = CP <=> ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด <=> ∠BPC (= ∠CBP) = 70° <=> ∠APB = 10° (= ∠CBD) <=> ∠APB = ∠CBD
สังเกตว่า ∆ABP ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BAP = ∠BCD, AP = BC, ∠APB = ∠CBD) => AB = CD Q.E.D.