จงพิสูจน์ว่า x = 18°

ให้ AD = L   ⇔   BC = L

(1) ∠ACB = 138°

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน AB   ⇒   ∆ABP ≅ ∆ABC   ⇒   AP = AC, BP = BC = L, ∠BAP = ∠BAC = 30° และ ∠ABP = ∠ABC = 12°

∵ AC = AP และ ∠CAP = 60°   ⇒   ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AC = CP

(3) กำหนดจุด Q เหนือ AC ที่ทำให้ AQ = CQ = L

จะเห็นว่า ∆ACQ ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AC = CP, AQ = BC, CQ = BP)   ⇒   ∠AQC = ∠CBP   ⇔   ∠AQC = 24°

∵ AQ = CQ   ⇔   ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 24°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CAQ = 78° และ ∠ACQ = 78° (⇔ ∠BCQ = 144°)

(4) ∵ BC = CQ   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 144°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQC (= ∠CBQ) = 18°

∵ AD = AQ   ⇔   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 108°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQD (= ∠ADQ) = 36°   ⇔   ∠CQD = 12°   ⇔   ∠CQD = ∠CBD   ⇔   ☐BDCQ สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠ADC = ∠BQC   ⇔   x = 18°   Q.E.D.