Fun Geometry Problem with Solution #15
Blog นี้จะนำเสนอโจทย์ 2 ข้อ ที่อาจนำไปใช้เป็นทฤษฎีบทในการแก้โจทย์ข้ออื่นๆ ในอนาคต

โจทย์ 1



กำหนดให้ วงกลม O เป็นวงกลมแนบใน ∆ABC โดยมีจุด P, จุด Q และ จุด R เป็นจุดสัมผัส
จงพิสูจน์ว่า AO, BO และ CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC, ∠ABC และ ∠ACB ตามลำดับ
พิสูจน์



(1) ∵ OP และ OQ เป็นรัศมีของวงกลมเดียวกัน   =>   OP = OQ

(2) ∵ จุด P และ จุด Q เป็นจุดสัมผัส   =>   ∠APO = 90° ∧ ∠AQO = 90°

(3) จะเห็นว่า ∆AOP ≅ ∆AOQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ฉ-ด-ด (∠APO = ∠AQO = 90°, OP = OQ, AO = AO)   =>   ∠OAP = ∠OAQ   <=>   AO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC

ใช้การพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า BO และ CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ABC และ ∠ACB ตามลำดับ   Q.E.D.



โจทย์ 2



กำหนดให้ AO และ BO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC และ ∠ABC ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ACB (x = y)
พิสูจน์



กำหนดจุด P, Q และ R บน AC, AB และ BC ตามลำดับ ที่ทำให้ OP ⊥ AC, OQ ⊥ AB และ OR ⊥ BC ตามลำดับ
จะเห็นว่า ∆AOP ≅ ∆AOQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠APO = ∠AQO, ∠OAP = ∠OAQ, AO = AO)   =>   OP = OQ
ในทำนองเดียวกัน ∆BOQ ≅ ∆BOR   =>   OQ = OR
∴ OP = OQ = OR   =>   O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน ∆ABC โดยมีจุด P, จุด Q และ จุด R เป็นจุดสัมผัส   =>   CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ACB (x = y)   Q.E.D.



Create Date : 06 มิถุนายน 2557
Last Update : 13 มิถุนายน 2557 21:46:51 น.
Counter : 755 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog