Blog นี้จะนำเสนอโจทย์ 2 ข้อ ที่อาจนำไปใช้เป็นทฤษฎีบทในการแก้โจทย์ข้ออื่นๆ ในอนาคต
โจทย์ 1
กำหนดให้ วงกลม O เป็นวงกลมแนบใน ∆ABC โดยมีจุด P, จุด Q และ จุด R เป็นจุดสัมผัส
จงพิสูจน์ว่า AO, BO และ CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC, ∠ABC และ ∠ACB ตามลำดับ
พิสูจน์
(1) ∵ OP และ OQ เป็นรัศมีของวงกลมเดียวกัน => OP = OQ
(2) ∵ จุด P และ จุด Q เป็นจุดสัมผัส => ∠APO = 90° ∧ ∠AQO = 90°
(3) จะเห็นว่า ∆AOP ≅ ∆AOQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ฉ-ด-ด (∠APO = ∠AQO = 90°, OP = OQ, AO = AO) => ∠OAP = ∠OAQ <=> AO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC
ใช้การพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า BO และ CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ABC และ ∠ACB ตามลำดับ Q.E.D.
โจทย์ 2
กำหนดให้ AO และ BO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC และ ∠ABC ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ACB (x = y)
พิสูจน์
กำหนดจุด P, Q และ R บน AC, AB และ BC ตามลำดับ ที่ทำให้ OP ⊥ AC, OQ ⊥ AB และ OR ⊥ BC ตามลำดับ
จะเห็นว่า ∆AOP ≅ ∆AOQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠APO = ∠AQO, ∠OAP = ∠OAQ, AO = AO) => OP = OQ
ในทำนองเดียวกัน ∆BOQ ≅ ∆BOR => OQ = OR
∴ OP = OQ = OR => O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน ∆ABC โดยมีจุด P, จุด Q และ จุด R เป็นจุดสัมผัส => CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ACB (x = y) Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
