โจทย์
กำหนดให้ AC = BD + CD
จงพิสูจน์ว่า x = 40°
พิสูจน์
(1) ∠CAD = x = 60° - α
(2) ต่อ CD ออกไปยังจุด P โดยที่ DP = BD ⇒ ∠BDP = 120°
∵ BD = DP ⇔ ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 120°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠BPD (= ∠DBP) = 30°
∵ CP = CD + DP ⇔ CP = CD + BD ⇔ CP = AC ⇔ ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= α) เป็นมุมยอด ⇔ ∠CAP (= ∠APC) = 90° - α/2 ⇔ ∠BAP = 30° + α/2
(3) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน BP ⇒ ∆BPQ ≅ ∆BCP ⇒ BQ = BC, PQ = CP, ∠BPQ = ∠BPC = 30° และ ∠BQP = ∠BCP = α
∵ CP = PQ และ ∠CPQ = 60° ⇒ ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ CP = CQ และ ∠PCQ = 60°
(4) สังเกตว่า AC = CP = CQ ⇔ จุด C เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆APQ แนบใน ⇒ ∠PAQ = (∠PCQ)/2 ⇔ ∠PAQ = 30° ⇔ ∠BAQ = α/2
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AQP = (∠ACP)/2 ⇔ ∠AQP = α/2 ⇔ ∠AQB = α/2 ⇔ ∠AQB = ∠BAQ ⇔ ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด ⇔ AB = BQ ⇔ AB = BC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด ⇔ ∠BAC = ∠ACB ⇔ 60° - α = 2α ⇔ α = 20° ⇔ x = 40° Q.E.D.