Fun Geometry Problem with Solution #71
โจทย์



กำหนดให้ ∠ACD เป็นมุมป้าน 
จงพิสูจน์ว่า x = 6°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆BCD จะได้ว่า ∠ADC = 3x

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ DP = BD   ⇔   BDP เป็น หน้าจั่ว ที่มี D เป็นมุมยอด   ⇔   BPD = DBP   ⇔   BPD = 2x   ⇔   CDP = x   ⇔   CDP = DCP   ⇔   CDP เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   ⇔   CP = DP      CP = BD

(3) กำหนดจุด Q เหนือ AB ที่ทำให้ DAQ = x และ ADQ = 2x   ⇔   CAQ = 30° - x และ CDQ = x
จะเห็นว่า ADQ  BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (DAQ = BCD, AD = BC, ADQ = CBD)   ⇒   AQ = CD และ DQ = BD
จะเห็นว่า CDQ  CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (DQ = DP, CDQ = CDP, CD = CD)   ⇒   CQ = CP และ DCQ = DCP   ⇔   CQ = BD และ DCQ = x
พิจารณา ADCQ จะได้ว่า AQC (มุมใหญ่) = 360° - 5x   ⇔   AQC (มุมเล็ก) = 5x

(4) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   ⇒   ...
     • จุด O อยู่ใต้ AD
     • AO = CO = DO
     • ∠AOC = 2(∠ADC)   ⇔   AOC = 6x
     • COD = 2(CAD)   ⇔   COD = 60°
 CO = DO และ COD = 60°      ∆CDO เป็น ด้านเท่า      CD = CO = DO   ⇔   AQ = AO
นอกจากนั้น ยังได้ว่า CDO = 60°   ⇔   ADO = 60° - 3x
 AO = DO   ⇔   ADO เป็น หน้าจั่ว ที่มี O เป็นมุมยอด   ⇔   DAO = ADO   ⇔   DAO = 60° - 3x   ⇔   OAQ = 60° - 2x

(5) กำหนดจุด R เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน AQ   ⇒   AQR  ACQ   ⇒   ...
     • QR = CQ   ⇔   QR = BD
     • QAR = CAQ   ⇔   QAR = 30° - x   ⇔   OAR = 30° - x
     • AQR = AQC   ⇔   AQR = 5x
สังเกตว่า AOR  AQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AO = AQ, OAR = QAR, AR = AR)   ⇒   OR = QR   ⇔   OR = BD
นอกจากนั้น ยังได้ว่า AOR = AQR   ⇔   AOR = 5x   ⇔   COR = x

(6) สังเกตว่า COR  CDQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (OR = DQ, COR = CDQ, CO = CD)   ⇒   CR = CQ
 CQ = CR = QR   ⇔   CQR เป็น ด้านเท่า   ⇒   CQR = 60°   ⇔   10x = 60°   ⇔   x = 6°   Q.E.D.

หมายเหตุ เราสามารถแสดงว่าจุด Q อยู่ใน ∆ACD ได้ดังนี้
∵ ∠ACD เป็นมุมป้าน      150° - 3x > 90°      x < 20°      ∠DAQ < 20°
∵ ∠DAQ < ∠CAD และ ∠ADQ < ∠ADC
∴ จุด Q อยู่ใน ∆ACD

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 21 พฤศจิกายน 2557
Last Update : 21 พฤศจิกายน 2557 0:00:00 น.
Counter : 578 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog