Fun Geometry Problem with Solution #14
Blog นี้จะนำเสนอโจทย์ 4 ข้อ ที่อาจนำไปใช้เป็นบทตั้ง (Lemma) ในการแก้โจทย์ข้ออื่นๆ ในอนาคต

โจทย์ 1



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = 120° - α
พิสูจน์



กำหนดจุด P บน AD ที่ทำให้ AP = CP

สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = AB, BP = BP, CP = AP)   =>   ∠BCP = ∠BAP   <=>   ∠BCP = α   <=>   ∠DCP = α
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPC = ∠APB

สังเกตว่า ∆CDP ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CD = BC, ∠DCP = ∠BCP, CP = CP)   =>   ∠CPD = ∠BPC

∴ ∠APB = ∠BPC = ∠CPD

แต่ ∠APB + ∠BPC + ∠CPD = 180°   <=>   ∠CPD = 60°

พิจารณา ∆CDP จะได้ว่า α + x + 60° = 180°   <=>   x = 120° - α   Q.E.D.

หมายเหตุ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า   <=>   ∠B > 180°   <=>   360° - ∠A - ∠C - ∠D > 180°   <=>   360° - α - 2α - (120° - α ) > 180°   <=>   α < 30°



โจทย์ 2



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า AB = BC = CD
พิสูจน์


(1) ∵ BC = CD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠BDC = ∠CBD   <=>   ∠BDC = 90° - α   <=>   ∠ADB = 30°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABD แนบใน   <=>   AO = BO ∧ ∠AOB = 2(∠ADB)   <=>   ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด ∧ ∠AOB = 60°   <=>   ∠BAO = ∠ABO = 60°
∴ ∆ABO เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BO = AB
นอกจากนั้น O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABD แนบใน   <=>   BO = DO ∧ ∠BOD = 2(∠BAD)   <=>   ∆BDO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด ∧ ∠BOD = 2α   <=>   ∠DBO = ∠BDO = 90° - α

(3) สังเกตว่า ∆BDC  ∆BDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠CBD = ∠DBO, BD = BD, ∠BDC = ∠BDO)   =>   BC = BO   <=>   BC = AB
∴ AB = BC = CD   Q.E.D.



โจทย์ 3



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า AB = BC = CD
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆ABC
∵ AB = BC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAC = ∠ACB
∵ ∠ABC = α + 2α + (120° - α) = 120° + 2α   <=>   ∠BAC = 30° - α ∧ ∠ACB = 30° - α   <=>   ∠CAD = 30° ∧ ∠ACD = 30° + α

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   =>   CO = DO ∧ ∠COD = 2(∠CAD)   <=>   ∆CDO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด ∧ ∠COD = 60°   <=>   ∠DCO = ∠CDO = 60°
∴ ∆CDO เป็น ∆ด้านเท่า   =>   CO = CD ∧ ∠ACO = 30° - α
นอกจากนั้น O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   <=>   AO = CO   <=>   ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด   <=>   ∠CAO = ∠ACO   <=>   ∠CAO = 30° - α

(3) จะเห็นว่า ∆ABC  ∆ACO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BAC = ∠CAO, AC = AC, ∠ACB = ∠ACO)   =>   BC = CO   <=>   BC = CD
∴ AB = BC = CD   Q.E.D.



โจทย์ 4



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = α
พิสูจน์



(1) ∵ BC = CD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠BDC = ∠CBD   <=>   ∠BDC = 90° - α   <=>   ∠ADB = 30°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABD แนบใน   =>   AO = BO = DO, ∠AOB = 2(∠ADB) = 60° และ ∠BOD = 2(∠BAD) = 2x
∵ AO = BO   <=>   ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAO = ∠ABO = 60°
∴ ∆ABO เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BO (= DO) = AB (= BC = CD)

(3) สังเกตว่า ∆BDO  ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BO = BC, BD = BD, DO = DC)   =>   ∠BOD = ∠BCD   <=>   2x = 2α   <=>   x = α   Q.E.D.



Create Date : 03 มิถุนายน 2557
Last Update : 18 สิงหาคม 2557 1:37:40 น.
Counter : 1099 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog