Blog นี้จะนำเสนอโจทย์ 4 ข้อ ที่อาจนำไปใช้เป็นบทตั้ง (Lemma) ในการแก้โจทย์ข้ออื่นๆ ในอนาคต
โจทย์ 1
กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = 120° - α
พิสูจน์
กำหนดจุด P บน AD ที่ทำให้ AP = CP
สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = AB, BP = BP, CP = AP) => ∠BCP = ∠BAP <=> ∠BCP = α <=> ∠DCP = α
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPC = ∠APB
สังเกตว่า ∆CDP ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CD = BC, ∠DCP = ∠BCP, CP = CP) => ∠CPD = ∠BPC
∴ ∠APB = ∠BPC = ∠CPD
แต่ ∠APB + ∠BPC + ∠CPD = 180° <=> ∠CPD = 60°
พิจารณา ∆CDP จะได้ว่า α + x + 60° = 180° <=> x = 120° - α Q.E.D.
หมายเหตุ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า <=> ∠B > 180° <=> 360° - ∠A - ∠C - ∠D > 180° <=> 360° - α - 2α - (120° - α ) > 180° <=> α < 30°
โจทย์ 2
กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า AB = BC = CD
พิสูจน์
(1) ∵ BC = CD <=> ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด <=> ∠BDC = ∠CBD <=> ∠BDC = 90° - α <=> ∠ADB = 30°
(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABD แนบใน <=> AO = BO ∧ ∠AOB = 2(∠ADB) <=> ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด ∧ ∠AOB = 60° <=> ∠BAO = ∠ABO = 60°
∴ ∆ABO เป็น ∆ด้านเท่า => BO = AB
นอกจากนั้น O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABD แนบใน <=> BO = DO ∧ ∠BOD = 2(∠BAD) <=> ∆BDO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด ∧ ∠BOD = 2α <=> ∠DBO = ∠BDO = 90° - α
(3) สังเกตว่า ∆BDC ≅ ∆BDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠CBD = ∠DBO, BD = BD, ∠BDC = ∠BDO) => BC = BO <=> BC = AB
∴ AB = BC = CD Q.E.D.
โจทย์ 3
กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า AB = BC = CD
พิสูจน์
(1) พิจารณา ∆ABC
∵ AB = BC <=> ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด <=> ∠BAC = ∠ACB
∵ ∠ABC = α + 2α + (120° - α) = 120° + 2α <=> ∠BAC = 30° - α ∧ ∠ACB = 30° - α <=> ∠CAD = 30° ∧ ∠ACD = 30° + α
(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน => CO = DO ∧ ∠COD = 2(∠CAD) <=> ∆CDO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด ∧ ∠COD = 60° <=> ∠DCO = ∠CDO = 60°
∴ ∆CDO เป็น ∆ด้านเท่า => CO = CD ∧ ∠ACO = 30° - α
นอกจากนั้น O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน <=> AO = CO <=> ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด <=> ∠CAO = ∠ACO <=> ∠CAO = 30° - α
(3) จะเห็นว่า ∆ABC ≅ ∆ACO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BAC = ∠CAO, AC = AC, ∠ACB = ∠ACO) => BC = CO <=> BC = CD
∴ AB = BC = CD Q.E.D.
โจทย์ 4
กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = α
พิสูจน์
(1) ∵ BC = CD <=> ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด <=> ∠BDC = ∠CBD <=> ∠BDC = 90° - α <=> ∠ADB = 30°
(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABD แนบใน => AO = BO = DO, ∠AOB = 2(∠ADB) = 60° และ ∠BOD = 2(∠BAD) = 2x
∵ AO = BO <=> ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O (= 60°) เป็นมุมยอด <=> ∠BAO = ∠ABO = 60°
∴ ∆ABO เป็น ∆ด้านเท่า => BO (= DO) = AB (= BC = CD)
(3) สังเกตว่า ∆BDO ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BO = BC, BD = BD, DO = DC) => ∠BOD = ∠BCD <=> 2x = 2α <=> x = α Q.E.D.