Fun Geometry Problem with Solution #7
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์ 1



ให้ AD = a และ AC = BD = b   =>   AB = a + b

(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 80°   <=>   ∠ACB = ∠BAC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   BC = AB   <=>   BC = a + b

(2) ต่อ BA ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠BPC = 20°   <=>   ∠BPC = ∠CBP   <=>   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   CP = BC   <=>   CP = a + b
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BCP = 140°   <=>   ∠ACP = 60°

(3) ต่อ CA ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQ = a   <=>   CQ = a + b   <=>   CQ = CP   <=>   ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠CPQ = ∠CQP
∵ ∠PCQ = 60°   <=>   ∠CPQ = ∠CQP = 60°
∴ ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   PQ = CP   <=>   PQ = a + b
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CPQ = 60°   <=>   ∠DPQ = 40°

(4) พิจารณา ∆ADQ จะเห็นว่า AD = AQ   <=>   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   <=>   ∠ADQ = ∠AQD
∵ ∠CAD = 80°   <=>   ∠DAQ = 100°   <=>   ∠PDQ (= ∠CQD) = 40°   <=>   ∠PDQ = ∠DPQ   <=>   ∆DPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   DQ = PQ   <=>   DQ = a + b   <=>   DQ = CQ   <=>   ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   ∠PDQ = ∠DPQ
∵ ∠CQD = 40°   <=>   ∠DCQ (= ∠CDQ) = 70°   <=>   x = 10°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2



(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 80°   <=>   ∠ACB = ∠BAC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   BC = AB

(2) กำหนดจุด P ภายใน ∆ABC ที่ทำให้ AC = AP = CP   <=>   ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠CAP = ∠ACP = ∠APC = 60°
∵ AC = AP   <=>   BD = AP
∵ ∠CAP = 60°   <=>   ∠BAP = 20°   <=>   ∠BAP = ∠CBD

(3) สังเกตว่า ∆ABP  ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AP = CP, AB = BC, BP = BP)   =>   ∠ABP = ∠CBP = (∠ABC)/2 = 10°
สังเกตว่า ∆BCD  ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = AP, ∠CBD = ∠BAP, BC = AB)   =>   ∠BCD = ∠ABP   <=>   x = 10°   Q.E.D.



Create Date : 13 พฤษภาคม 2557
Last Update : 16 มิถุนายน 2557 23:25:58 น.
Counter : 871 Pageviews.

3 comments
  
อีกวิธีหนึ่ง สร้างจุด E โดย EBCเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า , จะได้DBE≅CAB แล้วแก้ต่อ
โดย: พงศ์วิชญ์ IP: 223.24.99.10 วันที่: 5 กรกฎาคม 2560 เวลา:22:22:55 น.
  
อีกวิธีหนึ่ง สร้างจุด E โดย EBCเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า , จะได้DBE≅CAB แล้วแก้ต่อ
โดย: พงศ์วิชญ์ IP: 223.24.99.10 วันที่: 5 กรกฎาคม 2560 เวลา:22:29:34 น.
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog