โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์
(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC <=> ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด
(2) กำหนดให้ CQ เป็นส่วนสูงของ ∆ABC และ CQ ตัดกับ BP ที่จุด R => RQ ⊥ AB และ จุด Q เป็นจุดกึ่งกลาง AB <=> RQ เป็นส่วนสูงของ ∆ABR ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว
∴ ∆ABR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด <=> ∠BAR = ∠ABR <=> ∠BAR = 3x <=> ∠PAR = 2x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BQR (= ∠AQR) = 90° <=> ∠BRQ = 90° - 3x <=> ∠CRP = 90° - 3x
(3) ต่อ AR ออกไปยังจุด S โดยที่ AS = AC
สังเกตว่า ∆APS ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AS = AC, ∠PAS = ∠CAP, AP = AP) => ∠ASP = ∠ACP <=> ∠ASP = x
∵ AC = AS <=> ∆ACS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 4x) เป็นมุมยอด <=> ∠ASC (= ∠ACS) = 90° - 2x <=> ∠CSP = 90° - 3x <=> ∠CSP = ∠CRP <=> ☐CPRS สามารถแนบในวงกลมได้ <=> ∠PCR = ∠PSR <=> ∠PCR = x
(4) พิจารณา ∆ACQ จะได้ว่า ∠CAQ + ∠ACQ + ∠AQC = 180° <=> 7x + 2x + 90° = 180° <=> x = 10° Q.E.D.