โจทย์
กำหนดให้ AE = BE
จงพิสูจน์ว่า x = 22.5°
พิสูจน์ 1
(1) ∠ABC = 90° - 3x
(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ PE ⊥ AB
จะเห็นว่า ∆AEP ≅ ∆BEP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AE = BE, ∠AEP = ∠BEP, EP = EP) ⇒ ∠EAP = ∠EBP ⇔ ∠EAP = 90° - 3x ⇔ ∠APE = 3x
(3) ∵ ∠ACE = ∠APE ⇔ ☐ACPE สามารถแนบในวงกลมได้ ⇔ ∠EAP = ∠ECP ⇔ 90° - 3x = x ⇔ x = 22.5° Q.E.D.
พิสูจน์ 2 (ไม่ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม)
(1) ∠ABC = 90° - 3x, ∠AEC = 90° - 2x และ ∠BEC = 90° + 2x
(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด B ผ่าน CE ⇒ ∆CEP ≅ ∆BCE ⇒ ...
CP = BC
∠ECP = ∠BCE ⇔ ∠ECP = x ⇔ ∠DCP = x
∠CEP = ∠BEC ⇔ ∠CEP = 90° + 2x ⇔ ∠AEP = 4x
∠CPE = ∠CBE ⇔ ∠CPE = 90° - 3x
EP = BE ⇔ EP = AE ⇔ ∆AEP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠E (= 4x) เป็นมุมยอด ⇔ ∠APE (= ∠EAP) = 90° - 2x ⇔ ∠APC = x
(3) กำหนดจุด Q เป็นจุดตัดระหว่าง AB และ CP
สังเกตว่า ∆ACD ≅ ∆CDQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠ACD = ∠DCQ, CD = CD, ∠ADC = ∠CDQ) ⇒ AC = CQ
(4) สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = CQ, ∠ACP = ∠BCQ, CP = BC) ⇒ ∠APC = ∠CBQ ⇔ x = 90° - 3x ⇔ x = 22.5° Q.E.D.