โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 6°
พิสูจน์
(1) ต่อ BA ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠BPC = 24° <=> ∠BPC = ∠CBP <=> ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด <=> CP = BC <=> CP = AD
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ACP = 30°
(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน AC => ∆ACQ ≅ ∆ACP => CQ = CP, ∠ACQ = ∠ACP = 30° และ ∠AQC = ∠APC = 24°
∵ CP = CQ และ ∠PCQ = 60° => ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า <=> CP = CQ = PQ (= AD)
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CPQ = ∠CQP = 60° <=> ∠APQ = ∠AQP = 36° => ∠DAQ = 72°
(3) กำหนดจุด R บน AD ที่ทำให้ QR = AQ <=> ∆AQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด <=> ∠ARQ = ∠QAR <=> ∠ARQ = 72° <=> ∠PQR = 72°
∴ ∠PQR = ∠PRQ <=> ∆PQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด <=> PR = PQ <=> PR = AD
(4) สังเกตว่า ∆ADQ ≅ ∆PQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = PR, ∠DAQ = ∠PRQ, AQ = QR) => ∠ADQ = ∠QPR <=> ∠ADQ = 36° => ∠DQP = 108° <=> ∠CQD = 48°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DQ = PQ <=> DQ = CQ <=> ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 48°) เป็นมุมยอด <=> ∠CDQ (= ∠DCQ) = 66° <=> ∠ADC = 30° <=> ∠BCD = x = 6° Q.E.D.