โจทย์
กำหนดให้ AC = BC, AB = AD + CD และ AD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC
จงพิสูจน์ว่า x = 100°
พิสูจน์
(1) ให้ AD = a, CD = b และ BD = c
∵ AC = BC ⇔ AC = b + c
∵ AB = AD + CD ⇔ AB = a + b
(2) ให้ ∠ABC = 2α
∵ AC = BC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ ∠BAC = ∠ABC ⇔ ∠BAC = 2α
∵ AD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC ⇔ ∠BAD = ∠CAD = (∠BAC)/2 = α
(3) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠APD = α ⇔ ∠APD = ∠DAP ⇔ ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด ⇔ DP = AD ⇔ DP = a
พิจารณา ∆BDP จะได้ว่า ∠BDP = α ⇔ ∠BDP = ∠BPD ⇔ ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด ⇔ BP = BD ⇔ BP = c
(4) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ CQ = a
พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BCQ = 4α
จะเห็นว่า ∆ADQ ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = AD, ∠DAQ = ∠DAP, AQ = AP) ⇒ ∠AQD = ∠APD ⇔ ∠AQD = α
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DQ = DP ⇔ DQ = a ⇔ DQ = CQ ⇔ ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด ⇔ ∠CDQ = ∠DCQ ⇔ ∠CDQ = 4α
(5) พิจารณา ∆CDQ จะได้ว่า ∠DCQ + ∠CDQ + ∠CQD = 180° ⇔ 4α + 4α + α = 180° ⇔ α = 20°
∴ ∠DCQ = 80° ⇔ ∠ACD = x = 100° Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
