Fun Geometry Problem with Solution #109
โจทย์



กำหนดให้ AC = BC, AB = AD + CD และ AD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC
จงพิสูจน์ว่า x = 100°
พิสูจน์



(1) ให้ AD = a, CD = b และ BD = c
∵ AC = BC      AC = b + c
∵ AB = AD + CD      AB = a + b

(2) ให้ ∠ABC = 2α
∵ AC = BC      ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      ∠BAC = ∠ABC      ∠BAC = 2α
∵ AD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC      ∠BAD = ∠CAD = (∠BAC)/2 = α

(3) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠APD = α      ∠APD = ∠DAP      ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด      DP = AD      DP = a
พิจารณา ∆BDP จะได้ว่า ∠BDP = α      ∠BDP = ∠BPD      ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด      BP = BD      BP = c

(4) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ CQ = a
พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BCQ = 4α
จะเห็นว่า ∆ADQ  ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = AD, ∠DAQ = ∠DAP, AQ = AP)      ∠AQD = ∠APD      ∠AQD = α
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DQ = DP      DQ = a      DQ = CQ      ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด      ∠CDQ = ∠DCQ      ∠CDQ = 4α

(5) พิจารณา ∆CDQ จะได้ว่า ∠DCQ + ∠CDQ + ∠CQD = 180°      4α + 4α + α = 180°   ⇔   α = 20°
∴ ∠DCQ = 80°      ∠ACD = x = 100°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 14 มีนาคม 2558
Last Update : 25 สิงหาคม 2558 22:34:00 น.
Counter : 550 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog