Fun Geometry Problem with Solution #42
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 45°
พิสูจน์ 1



(1) พิจารณา ABC จะได้ว่า ACB = 135°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ...
     • AO = BO = CO
     • BOC = 2(BAC) = 60°
     • ∠AOB (มุมใหญ่) = 2(∠ACB) = 270°   <=>   ∠AOB (มุมเล็ก) = 90°

(3)  BO = CO   <=>   BCO เป็น หน้าจั่ว ที่มี O (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   CBO = BCO = 60°
BCO เป็น ด้านเท่า   =>   BC = CO

(4) ∵ AO = BO   <=>   ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 90°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ABO (= ∠BAO) = 45°
พิจารณา ∆ABO ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด
∵ AD = BD   <=>   DO เป็นส่วนสูงของ ∆AOB   <=>   ∠BOD = (∠AOB)/2 = 45°   <=>   ∠BOD = ∠DBO   <=>   ∆BDO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   BD = DO

(5) สังเกตว่า BCD  CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = CO, BD = DO, CD = CD)   =>   BCD (= DCO) = (BCO)/2 = 30°   <=>   ADC = x = 45°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2



(1) ต่อ AC ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = BP   <=>   ABP เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   <=>   ABP = BAP   <=>   ABP = 30°   <=>   CBP = 15°   <=>   CBP = ABC
พิจารณา ABP ซึ่งเป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด
 AD = BD   <=>   DP เป็นส่วนสูงของ ABP   =>   ADP = 90° และ BDP = 90°   <=>   APD = 60° และ BPD = 60°

(2) ต่อ BP ออกไปยังจุด Q (ตามใจชอบ)   =>   APQ = 60°   <=>   APQ = APD

(3) พิจารณา BDP จะเห็นว่า...
     Œ• AP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง DPQ (มุมภายนอก)
     • BC เป็นเส้นแบ่งครึ่ง DBP (มุมภายใน)
     • AP และ BC พบกันที่จุด C
     =>   จุด C เป็น excenter ตรงข้ามจุด B (ศึกษาเพิ่มเติมได้ ที่นี่)   =>   CD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ADP (มุมภายนอก)   <=>   ADC (= CDP) = (ADP)/2 = 45°   <=>   x = 45°   Q.E.D.



Create Date : 26 สิงหาคม 2557
Last Update : 27 สิงหาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 772 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog