Fun Geometry Problem with Solution #132
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 3α
พิสูจน์



(1) ∠ACB = 60° + α

(2) กำหนดจุด Q เหนือ AB ที่ทำให้ AQ = BQ = AB      ∆ABQ เป็น ∆ด้านเท่า      ...
     • ∠BAQ = 60°   ⇔   ∠CAQ = 30°
     • ∠ABQ = 60°      ∠CBQ = 30° - α และ ∠PBQ = 30°
     • ∠AQB = 60°

♦ สังเกตว่า ∆ACQ  ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AC, ∠CAQ = ∠BAC, AQ = AB)      CQ = BC      ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      ∠BQC = ∠CBQ      ∠BQC = 30° - α

♦ สังเกตว่า ∆BPQ  ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = BP, ∠PBQ = ∠ABP, BQ = AB)      PQ = AP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BQP = ∠BAP      ∠BQP = α      ∠AQP = 60° - α
พิจารณา ☐ABQP จะได้ว่า ∠APQ (มุมใหญ่) = 360° - (60° + 2α)      ∠APQ (มุมเล็ก) = 60° + 2α

(3) กำหนดจุด R ใต้ AQ ที่ทำให้ ∠QAR = 30° - α และ ∠AQR = 30° - α ( ∠PQR = 30°)
จะเห็นว่า ∆AQR  ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠QAR = ∠CBQ, AQ = BQ, ∠AQR = ∠BQC)   ⇒   QR = CQ
∵ ∠QAR = ∠AQR      ∆AQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด      AR = QR

♦ สังเกตว่า ∆PQR  ∆APR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (PQ = AP, PR = PR, QR = AR)      ∠QPR (= ∠APR) = (∠APQ)/2 = 30° + α

♦ สังเกตว่า ∆CPQ  ∆PQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CQ = QR, ∠CQP = ∠PQR, PQ = PQ)      ∠CPQ = ∠QPR      ∠CPQ = 30° + α

(4) พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า ∠ACP = 60° - 2α      ∠BCP = x = 3α   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 22 พฤษภาคม 2558
Last Update : 27 พฤษภาคม 2558 16:30:00 น.
Counter : 531 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog