โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์ 1
(1) พิจารณา ∆ABP จะได้ว่า ∠APB = 180° - 4x
พิจารณา ∆BCP จะเห็นว่า ∠CBP = ∠BCP ⇔ ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ BP = CP
พิจารณา ☐ABCP จะได้ว่า ∠APC (มุมใหญ่) = 360° - 8x ⇔ ∠APC (มุมเล็ก) = 8x
(2) กำหนดจุด Q ใต้ AP ที่ทำให้ PQ = AP และ ∠BPQ = 8x (⇔ ∠APQ = 180° - 12x)
จะเห็นว่า ∆BPQ ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = CP, ∠BPQ = ∠APC, PQ = AP) ⇒ ∠BQP = ∠CAP ⇔ ∠BQP = 2x
∵ AP = PQ ⇔ ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 180° - 12x) เป็นมุมยอด ⇔ ∠AQP (= ∠PAQ) = 6x
(3) พิจารณา ∆ABP และจุด Q จะเห็นว่า
∠AQP = 2(∠ABP) และ ∠BQP = 2(∠BAP) ⇒ จุด Q เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABP แนบใน (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์) ⇒ AQ = PQ
∴ AP = AQ = PQ ⇔ ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ ∠AQP = 60° ⇔ 6x = 60° ⇔ x = 10° Q.E.D.
พิสูจน์ 2
(1) กำหนดจุด Q บน AP ที่ทำให้ ∠ABQ = x ⇔ ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด ⇔ AQ = BQ
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠PBQ = 2x และ ∠BQP = 2x
(2) สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆BPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠BCP = ∠BQP, ∠CBP = ∠PBQ, BP = BP) ⇒ BC = BQ
(3) ให้ α = 2x
พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° ⇔ 3x + 5x + (120° - 2x) = 180° ⇔ x = 10° Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
