Fun Geometry Problem with Solution #103
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์ 1



(1) พิจารณา ∆ABP จะได้ว่า ∠APB = 180° - 4x
พิจารณา ∆BCP จะเห็นว่า ∠CBP = ∠BCP      ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด      BP = CP
พิจารณา ☐ABCP จะได้ว่า ∠APC (มุมใหญ่) = 360° - 8x      ∠APC (มุมเล็ก) = 8x

(2) กำหนดจุด Q ใต้ AP ที่ทำให้ PQ = AP และ ∠BPQ = 8x ( ∠APQ = 180° - 12x)
จะเห็นว่า ∆BPQ  ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = CP, ∠BPQ = ∠APC, PQ = AP)      ∠BQP = ∠CAP   ⇔   ∠BQP = 2x
∵ AP = PQ      ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 180° - 12x) เป็นมุมยอด      ∠AQP (= ∠PAQ) = 6x

(3) พิจารณา ∆ABP และจุด Q จะเห็นว่า ∠AQP = 2(∠ABP) และ ∠BQP = 2(∠BAP)      จุด Q เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABP แนบใน (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)    AQ = PQ
∴ AP = AQ = PQ      ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า      ∠AQP = 60°      6x = 60°      x = 10°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2



(1) กำหนดจุด Q บน AP ที่ทำให้ ∠ABQ = x      ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด      AQ = BQ
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠PBQ = 2x และ ∠BQP = 2x

(2) สังเกตว่า ∆BCP  ∆BPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠BCP = ∠BQP, ∠CBP = ∠PBQ, BP = BP)      BC = BQ

(3) ให้ α = 2x
สังเกตว่า ☐ACBQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AQ = BQ = BC, ∠A = α และ ∠B = 2α      ∠ACB = 120° - α (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 1)    ∠ACB = 120° - 2x
พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°      3x + 5x + (120° - 2x) = 180°      x = 10°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 24 กุมภาพันธ์ 2558
Last Update : 24 กุมภาพันธ์ 2558 0:00:00 น.
Counter : 628 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog