Fun Geometry Problem with Solution #11
โจทย์


จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์



(1) ∠ADC = 3x

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ DP = BD   <=>   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   ∠BPD = ∠DBP   <=>   ∠BPD = 2x   <=>   ∠CDP = x   <=>   ∠CDP = ∠DCP   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   CP = DP   =>   CP = BD

(3) ต่อ BA ออกไปยังจุด Q โดยที่ CQ = AC   <=>   ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠AQC = ∠CAQ   <=>   ∠AQC = 180° - ∠CAB  = 90° - x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า CQ = BD
พิจารณา ∆BCQ จะได้ว่า ∠BCQ = 90° - x   <=>   ∠BCQ = ∠BQC   <=>   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   BQ = BC   <=>   BD + DQ = BP + CP   <=>   DQ = BP

(4) กำหนดจุด R ภายใน ∆CDQ ที่ทำให้ ∠QDR = 2x และ ∠DQR = 2x   <=>   ∠CDR = x และ ∠CQR = 90° - 3x
จะเห็นว่า ∆DQR  ∆BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠QDR = ∠DBP, DQ = BP, ∠DQR = ∠BPD)   =>   DR = BD และ QR = DP  <=>   DR = DP และ QR = BD
จะเห็นว่า ∆CDR  ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (DR = DP, ∠CDR = ∠CDP, CD = CD)   =>   CR = CP   <=>   CR = BD

(5) จะเห็นว่า CQ = CR = QR   <=>   ∆CQR เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠CQR = 60°   <=>   90° - 3x = 60°   <=>   x = 10°   Q.E.D.



Create Date : 25 พฤษภาคม 2557
Last Update : 5 กันยายน 2557 1:21:16 น.
Counter : 808 Pageviews.

1 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog