Miscellaneous Problems
โจทย์ 1-1



จงพิสูจน์ว่า AB = CD
พิสูจน์



(1) ∠ACD = 40° และ ∠BCD = 10°

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด A ผ่าน BC      ∆BCP  ∆ABC      BP = AB, ∠CBP = ∠ABC = 30° และ ∠BCP = ∠ACB = 50°
∵ AB = BP และ ∠ABP = 60°      ∆ABP เป็น ∆ด้านเท่า      AB = AP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BAP = 60°      ∠CAP = 40°

(3) สังเกตว่า ∆ACP  ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠CAP = ∠ACD, AC = AC, ∠ACP = ∠CAD)      AP = CD      AB = CD   Q.E.D.

โจทย์ 1-2



จงพิสูจน์ว่า AC = BD
พิสูจน์ 1



(1) ∠ACD = 60°

(2) ต่อ CD ออกไปยังจุด P โดยที่ CP = AC      ∠BDP = ∠ADC      ∠BDP = 80°
∵ AC = CP และ ∠ACP = 60°      ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า      AC = AP = CP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠APC = 60°

(3) สังเกตว่า AP = CP และ ∠APC = 2(∠ABC)      จุด P เป็น circumcenter ของ ∆ABC      BP = AP      BP = AC
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPC = 2(∠BAC)      ∠BPC = 80°      ∠BPD = ∠BDP      ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด      BP = BD      AC = BD   Q.E.D.

พิสูจน์ 2



(1) ∠BDC = 100°

(2) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ ∠APC = 40°      ∠APC = ∠CAP      ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      AC = CP

(3) พิจารณา ∆BCD จะเห็นว่า ∠B = 30°, ∠D = 100° และมีจุด P บน BD ที่ทำให้ ∠CPD = 40°      CP = BD (ดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 1-1)   ⇔   AC = BD   Q.E.D.



โจทย์ 2



จงพิสูจน์ว่า AD = BC
พิสูจน์



(1) ∠BCD = 30° และ ∠ADC = 126°

(2) กำหนดจุด O เป็น circumcenter ของ ∆ABC      AO = BO = CO
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BOC = 2(∠BAC)      ∠BOC = 60°
∵ BO = CO และ ∠BOC = 60°      ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า      ...
     • BC = BO = CO      BC = AO
     • ∠CBO = 60°      ∠ABO = 36°
     • ∠BCO = 60°      ∠DCO = 30°
∵ AO = BO      ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด      ∠BAO = ∠ABO      ∠BAO = 36°

(3) สังเกตว่า ∆CDO  ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CD = CD, ∠DCO = ∠BCD, CO = BC)      ∠CDO = ∠BDC      ∠CDO = 54°      ∠ADO = 72°

(4) พิจารณา ∆ADO จะได้ว่า ∠AOD = 72°      ∠AOD = ∠ADO      ∆ADO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด      AD = AO      AD = BC   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 25 เมษายน 2557
Last Update : 15 มิถุนายน 2558 22:40:00 น.
Counter : 983 Pageviews.

1 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog