Fun Geometry Problem with Solution #160
╠╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╣
❀❀❀ ริ ญ ❀❀❀
╠╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╣

โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์ 1



(1) พิจารณา ☐ABPC จะได้ว่า ∠BPC (มุมใหญ่) = 360° - 110°      ∠BPC (มุมเล็ก) = 110°

(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน AB      ∆ABQ  ∆ABP      AQ = AP, BQ = BP, ∠BAQ = ∠BAP = 10° และ ∠ABQ = ∠ABP = 30°
∵ BP = BQ และ ∠PBQ = 60°      ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า      BP = PQ

(3) กำหนดจุด R บน AC ที่ทำให้ AR = AP
จะเห็นว่า ∆APR  ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AQ, ∠PAR = ∠PAQ, AR = AP)      PR = PQ      PR = BP
∵ AP = AR      ∆APR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 20°) เป็นมุมยอด      ∠ARP (= ∠APR) = 80°

(4) กำหนดจุด S บน AR ที่ทำให้ PS = PR (= BP)      ∆PRS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด      ∠PSR = ∠PRS   ⇔   ∠PSR = 80°
พิจารณา ∆CPS จะได้ว่า ∠CPS = 50°      ∠CPS = ∠PCS      ∆CPS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠S เป็นมุมยอด      CS = PS

(5) กำหนดจุด T ทางด้านขวาของ CP ที่ทำให้ CT = PT = CP      ∆CPT เป็น ∆ด้านเท่า      ∠CPT = ∠CTP = 60°
จะเห็นว่า ∆PST  ∆CST ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (PS = CS, PT = CT, ST = ST)      ∠PTS (= ∠CTS) = (∠CTP)/2 = 30°

(6) สังเกตว่า ∆BCP  ∆PST ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = PS, ∠BPC = ∠SPT, CP = PT)      ∠BCP = ∠PTS      x = 30°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2 (Angel Lazo HK)



(1) พิจารณา ☐ABPC จะได้ว่า ∠BPC (มุมใหญ่) = 360° - 110°      ∠BPC (มุมเล็ก) = 110°

ให้ BP = L

(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ = L      PQ = BP      ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด      ∠BQP = ∠PBQ      ∠BQP = 30°      ∠APQ = 20°

(3) กำหนดจุด R บน AP ที่ทำให้ QR = L      QR = PQ      ∆PQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด      ∠PRQ = ∠QPR      ∠PRQ = 20°      ∠AQR = 10°      ∠AQR = ∠QAR      ∆AQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด      AR = QR      AR = L
พิจารณา ∆PQR จะได้ว่า ∠PQR = 140°

(4) กำหนดจุด S บน AC ที่ทำให้ RS = L      RS = AR      ∆ARS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด      ∠ASR = ∠RAS      ∠ASR = 20°      ∠PRS = 40°

(5) ∵ QR = RS และ ∠QRS = 60°      ∆QRS เป็น ∆ด้านเท่า      ∠RQS = 60°      ∠PQS = 80°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า QS = QR (= L)      QS = PQ      ∆PQS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 80°) เป็นมุมยอด      ∠QPS (= ∠PSQ) = 50°      ∠APS = 30°      ∠CSP = 50°      ∠CSP = ∠PCS      ∆CPS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด      CP = PS
พิจารณา ∆PRS จะได้ว่า ∠PSR = 110°

(6) สังเกตว่า ∆BCP  ∆PRS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = RS, ∠BPC = ∠PSR, CP = PS)      ∠BCP = ∠RPS      x = 30°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 12 สิงหาคม 2558
Last Update : 12 สิงหาคม 2558 0:00:01 น.
Counter : 589 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog