จงพิสูจน์ว่า x = 30°

พิสูจน์ (Angel Lazo HK)

(1) ∠ACD = 90° - x และ ∠BDC = 130° - x

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   ⇒   AO = CO = DO = ℓ

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠COD = 2(∠CAD)   ⇔   ∠COD = 80°

∵ CO = DO   ⇔   ∆CDO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DCO = 50° (⇔ ∠ACO = 40° - x) และ ∠CDO = 50°

∵ AO = CO   ⇔   ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CAO = ∠ACO   ⇔   ∠CAO = 40° - x

(3) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ CP = ℓ

จะเห็นว่า ∆CDP ≅ ∆CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CD = CD, ∠DCP = ∠DCO, CP = CO)   ⇒   DP = DO   ⇔   DP = ℓ

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CDP = ∠CDO   ⇔   ∠CDP = 50°   ⇒   ∠BDP = 80° - x และ ∠BPD = 100°

(4) กำหนดจุด Q เหนือ BD ที่ทำให้ BQ = DQ = ℓ

จะเห็นว่า ∆BDQ ≅ ∆ACO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BD = AC, BQ = AO, DQ = CO)   ⇒   ∠DBQ = ∠CAO และ ∠BDQ = ∠ACO   ⇔   ∠DBQ = 40° - x และ ∠BDQ = 40° - x   ⇔   ∠PBQ = 2x - 40° และ ∠PDQ = 40°

(5) ให้ α = 20°

สังเกตว่า ☐BPDQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี BQ = DP = DQ, ∠PDQ = 2α และ ∠BPD = 120° - α   ⇒   ∠PBQ = α (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 4)   ⇔   2x - 40° = 20°   ⇔   x = 30°   Q.E.D.