Fun Geometry Problem with Solution #131
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 48°
พิสูจน์



(1) ∠ACB = 78°

(2) ต่อ BC ออกไปยังจุด Q โดยที่ ∠AQB = 72°      ∠CAQ = 6°
∠ABQ = ∠AQB      ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด      AB = AQ
สังเกตว่า ∆APQ  ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠PAQ = ∠BAP, AQ = AB)      PQ = BP      ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด      ∠BQP = ∠PBQ      ∠BQP = 36°      ∠BPQ = 108°

(3) กำหนดจุด R เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน AB      ∆ABR  ∆ABC      AR = AC, BR = BC, ∠BAR = ∠BAC = 30° และ ∠ARB = ∠ACB = 78°
∵ AC = AR และ ∠CAR = 60°      ∆ACR เป็น ∆ด้านเท่า      AC = CR และ ∠ACR = ∠ARC = 60° ( ∠BCR = ∠BRC = 18°)

(4) กำหนดจุด S เหนือ AC ที่ทำให้ ∠CAS = ∠ACS = 18° ( ∠ASC = 144°)
จะเห็นว่า ∆ACS  ∆BCR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠CAS = ∠BCR, AC = CR, ∠ACS = ∠BRC)      AS = BC และ CS = BR      AS = BC = CS

(5) ∵ AS = CS และ ∠ASC = 2(∠AQC)      จุด S เป็น circumcenter ของ ∆ACQ      ∠CSQ = 2(∠CAQ)      ∠CSQ = 12°
∵ BC = CS      ∆BCS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 96°) เป็นมุมยอด      ∠BSC (= ∠CBS) = 42°
∵ BP = PQ และ ∠BPQ = 2(∠BSQ)      จุด P เป็น circumcenter ของ ∆BQS      BP = PS

(6) สังเกตว่า ∆BCP  ∆CPS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = CS, BP = PS, CP = CP)      ∠BCP (= ∠PCS) = (∠BCS)/2      x = 48°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 19 พฤษภาคม 2558
Last Update : 19 พฤษภาคม 2558 0:55:55 น.
Counter : 581 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog