Fun Geometry Problem with Solution #53
โจทย์













จงพิสูจน์ว่า x = 15°
พิสูจน์





พิจารณา ACD จะได้ว่า ACD = 135° - 2x

พิจารณา BCD จะได้ว่า BDC = 135°   <=>   BCD = 45° - x   =>   x < 45° (✱)   <=>   2x < 90°
BAC และ ABC เป็นมุมแหลม

กำหนดให้จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ABC แนบใน   <=>   AO = BO = CO

กรณีที่ 1: ACB เป็นมุมแหลม   =>   จุด O เป็นจุดภายใน ABC โดยอยู่ใน BCD (ดูรูปที่ 1)
 จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ABC แนบใน   =>   AOC = 2(ABC) = 2x
 AO = CO   <=>   ACO เป็น หน้าจั่ว ที่มี O (= 2x) เป็นมุมยอด   <=>   ACO (= CAO) = 90° - x   <=>   DCO = x - 45°   =>   x > 45° ซึ่งขัดแย้งกับ (✱)
ACB ไม่เป็นมุมแหลม

กรณีที่ 2: ACB เป็นมุมฉาก   =>   จุด O กับจุด D เป็นจุดเดียวกัน   =>   AD = BD = CD
พิจารณา ABC จะได้ว่า BAC + ABC + ACB = 180°   <=>   2x + x + 90° = 180°   <=>   x = 30°   =>   ABC = 30° และ BCD = 15°
 BD = CD   <=>   BCD เป็น หน้าจั่ว ที่มี D เป็นมุมยอด   <=>   CBD = BCD   =>   30° = 15° ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ACB ไม่เป็นมุมฉาก

กรณีที่ 3: ACB เป็นมุมป้าน   =>   จุด O เป็นจุดภายนอก ABC (ดูรูปที่ 2)
 จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ABC แนบใน   =>   AOC = 2(ABC) = 2x และ BOC = 2(BAC) = 4x
 AO = CO   <=>   ACO เป็น หน้าจั่ว ที่มี O (= 2x) เป็นมุมยอด   <=>   ACO (= CAO) = 90° - x   <=>   DCO = 45° - x
 AO = BO   <=>   ABO เป็น หน้าจั่ว ที่มี O เป็นมุมยอด
 AD = BD   <=>   DO เป็นส่วนสูงของ ABO   <=>   ADO = 90°   <=>   CDO = 135°
สังเกตว่า BCD  CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (BCD = DCO, CD = CD, BDC = CDO)   =>   BC = CO
 BC = BO = CO   <=>   BCO เป็น ด้านเท่า   =>   BOC = 60°   <=>   4x = 60°   <=>   x = 15°   Q.E.D.



Create Date : 28 กันยายน 2557
Last Update : 28 กันยายน 2557 0:00:01 น.
Counter : 627 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog