โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์ 1
(1) ∠ACB = 40°
∵ ∠BAC = ∠ABC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ AC = BC
(2) สร้างวงกลมล้อมรอบ ∆ABC แล้วต่อ AP ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด Q ⇒ ☐ABQC สามารถแนบในวงกลมได้ ⇒ ∠CBQ = ∠CAQ, ∠BCQ = ∠BAQ และ ∠AQB = ∠ACB ⇔ ∠CBQ = 40°, ∠BCQ = 30° และ ∠AQB = 40°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPQ = 80°
(4) สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BC, ∠CAP = ∠CBQ, AP = BQ) ⇒ ∠ACP = ∠BCQ ⇔ x = 30° Q.E.D.
พิสูจน์ 2
(1) ∠ACB = 40°
∵ ∠BAC = ∠ABC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ AC = BC
(2) กำหนดจุด Q บน AP ที่ทำให้ CQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ACB ⇒ ∠BCQ = ∠ACQ = (∠ACB)/2 = 20°
จะเห็นว่า ∆BCQ ≅ ∆ACQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = AC, ∠BCQ = ∠ACQ, CQ = CQ) ⇒ ∠CBQ = ∠CAQ ⇔ ∠CBQ = 40° ⇒ ∠ABQ = 30° และ ∠PBQ = 20°
พิจารณา ∆ABQ และ ∆ACQ จะได้ว่า ∠BQP = 60° และ ∠CQP = 60° ตามลำดับ
(3) พิจารณา ∆BCQ จะเห็นว่า มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ BP และ PQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠CBQ และ ∠BQC ตามลำดับ ⇒ จุด P เป็น incenter ของ ∆BCQ ⇒ CP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BCQ ⇒ ∠BCP (= ∠PCQ) = (∠BCQ)/2 = 10° ⇔ ∠ACP = x = 30° Q.E.D.