Fun Geometry Problem with Solution #140
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์ 1



(1) ∠ACB = 40°
∵ ∠BAC = ∠ABC      ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      AC = BC

(2) สร้างวงกลมล้อมรอบ ∆ABC แล้วต่อ AP ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด Q      ☐ABQC สามารถแนบในวงกลมได้      ∠CBQ = ∠CAQ, ∠BCQ = ∠BAQ และ ∠AQB = ∠ACB      ∠CBQ = 40°, ∠BCQ = 30° และ ∠AQB = 40°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPQ = 80°

(3) พิจารณา ∆ABQ จะเห็นว่า ∠A = 30°, ∠Q = 40° และมีจุด P บน AQ ที่ทำให้ ∠BPQ = 80°      AP = BQ (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 1-2)

(4) สังเกตว่า ∆ACP  ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BC, ∠CAP = ∠CBQ, AP = BQ)      ∠ACP = ∠BCQ      x = 30°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2



(1) ∠ACB = 40°
∵ ∠BAC = ∠ABC      ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      AC = BC

(2) กำหนดจุด Q บน AP ที่ทำให้ CQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ACB      ∠BCQ = ∠ACQ = (∠ACB)/2 = 20°
จะเห็นว่า ∆BCQ  ∆ACQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = AC, ∠BCQ = ∠ACQ, CQ = CQ)      ∠CBQ = ∠CAQ      ∠CBQ = 40°      ∠ABQ = 30° และ ∠PBQ = 20°
พิจารณา ∆ABQ และ ∆ACQ จะได้ว่า ∠BQP = 60° และ ∠CQP = 60° ตามลำดับ

(3) พิจารณา ∆BCQ จะเห็นว่า มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ BP และ PQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠CBQ และ ∠BQC ตามลำดับ      จุด P เป็น incenter ของ ∆BCQ      CP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BCQ      ∠BCP (= ∠PCQ) = (∠BCQ)/2 = 10°      ∠ACP = x = 30°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 15 มิถุนายน 2558
Last Update : 15 มิถุนายน 2558 0:00:00 น.
Counter : 551 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog