Fun Geometry Problem with Solution #63
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 54°
พิสูจน์



(1) ∵ AD = BD   <=>   ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 36°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAD = ∠ABD = 72°
∵ BC = BD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 24°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BCD = ∠BDC = 78°

(2) กำหนดจุด Q นอก ∆ABD ที่ทำให้ DQ = AD (= BD = BC) และ ∠ADQ = 24°
จะเห็นว่า ∆ADQ  ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BD, ∠ADQ = ∠CBD, DQ = BC)   =>   AQ = CD
∵ BD = DQ และ ∠BDQ = 60°   =>   ∆BDQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BQ = BD
∵ AD = BD = DQ   <=>   จุด D เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่มี ∆ABQ แนบใน   =>   ∠ABQ = (∠ADQ)/2 และ ∠AQB = (∠ADB)/2   <=>   ∠ABQ = 12° และ ∠AQB = 18°

(3) กำหนดจุด R ใน ∆ABD ที่ทำให้ AB = AR = BR   <=>   ∆ABR เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠BAR = 60° (<=> ∠DAR = 12°), ∠ABR = 60° (<=> ∠DBR = 12°) และ ∠ARB = 60°
สังเกตว่า ∆BDR  ∆ABQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BR = AB, ∠DBR = ∠ABQ, BD = BQ)   =>   ∠BDR = ∠AQB   <=>   ∠BDR = 18°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DR = AQ   <=>   DR = CD   <=>   ∆CDR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 96°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠DCR (= ∠CRD) = 42°   <=>   ∠BCR = 36°   <=>   ∠BCR = ∠CBR   <=>   ∆BCR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   <=>   BR = CR

(4) สังเกตว่า AR = BR = CR   <=>   จุด R เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ∠ACB = (∠ARB)/2   <=>   ∠ACB = 30°   <=>   ∠ACR = 6°
∵ AR = CR   <=>   ∆ACR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   <=>   ∠CAR = ∠ACR   <=>   ∠CAR = 6°
พิจารณา ∆ADP จะได้ว่า ∠APB = x = 54°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 28 ตุลาคม 2557
Last Update : 28 ตุลาคม 2557 0:30:00 น.
Counter : 637 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog