Bloggang.com : TIYHz -

Fun Geometry Problem with Solution #100

โจทย์

จงพิสูจน์ว่า x = 6°

พิสูจน์

(1) ∠ACB = 108°

∵ ∠BAC = ∠ABC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ AC = BC

(2) ต่อ BP ออกไปยังจุด D โดยที่ ∠DAP = 24° ⇒ ∠CAD = 6°, ∠ADP = 126° และ ∠APD = 30°

ให้ α = 6°

สังเกตว่า ☐ACBD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AC = BC, ∠A = α, ∠B = 2α และ ∠C = 120° - 2α ⇒ BC = BD (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 2) ⇔ ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 12°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠BCD (= ∠BDC) = 84° ⇔ ∠ACD = 24°

(3) ต่อ CD ออกไปพบ AP ที่จุด E ⇒ ∠ADE = 30° ⇒ ∠EDP = 96° และ ∠DEP = 54°

(4) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ADP แนบใน ⇒ ...

• AO = DO = OP

• ∠AOD = 2(∠APD) ⇔ ∠AOD = 60°

• ∠DOP = 2(∠DAP) ⇔ ∠DOP = 48°

∵ AO = DO และ ∠AOD = 60° ⇒ ∆ADO เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ ...

• AD = AO ⇔ AD = OP

• ∠DAO = 60° ⇔ ∠OAP = 36°

• ∠ADO = 60° ⇔ ∠EDO = 30°

สังเกตว่า ∆DEO ≅ ∆ADE ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (DO = AD, ∠EDO = ∠ADE, DE = DE) ⇒ ∠DOE = ∠DAE ⇔ ∠DOE = 24°

∵ AO = OP ⇔ ∆AOP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด ⇔ ∠APO = ∠OAP ⇔ ∠APO = 36°

พิจารณา ∆EOP จะได้ว่า ∠OEP = 72° ⇔ ∠OEP = ∠EOP ⇔ ∆EOP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ EP = OP ⇔ EP = AD

(5) ให้ DE = k

กำหนดจุด Q เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆DEP แนบใน ⇒ ...

• DQ = EQ = PQ

• ∠DQE = 2(∠DPE) ⇔ ∠DQE = 60°

• ∠DQP = 2(∠DEP) ⇔ ∠DQP = 108°

∵ DQ = EQ และ ∠DQE = 60° ⇒ ∆DEQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ EQ = DE ⇔ EQ = k ⇔ PQ = k

∵ EQ = PQ ⇔ ∆EPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 168°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠PEQ = ∠EPQ = 6°

(6) กำหนดจุด F บน AC ที่ทำให้ AF = k

จะเห็นว่า ∆ADF ≅ ∆EPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = EP, ∠DAF = ∠PEQ, AF = EQ) ⇒ DF = PQ ⇔ DF = k

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AFD = ∠EQP ⇔ ∠AFD = 168° ⇔ ∠CFD = 12°

(7) ต่อ FC ออกไปยังจุด G ที่ทำให้ ∠DGF = 12° ⇔ ∠DGF = ∠DFG ⇔ ∆DFG เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด ⇔ DG = DF ⇔ DG = k

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠DCG = 156° ⇔ ∠CDG = 12° (⇔ ∠GDP = 72°) ⇔ ∠CDG = ∠CGD ⇔ ∆CDG เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ CD = CG

(8) สังเกตว่า ∆DEG ≅ ∆EPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (DE = EQ, ∠EDG = ∠EQP, DG = PQ) ⇒ ∠DEG = ∠PEQ ⇔ ∠DEG = 6° ⇔ ∠GEP = 48°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า EG = EP ⇔ ∆EGP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠E (= 48°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠EPG (= ∠EGP) = 66° ⇔ ∠DPG = 36°

พิจารณา ∆DGP จะได้ว่า ∠DGP = 72° ⇔ ∠DGP = ∠GDP ⇔ ∆DGP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ DP = GP

สังเกตว่า ∆CDP ≅ ∆CGP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CD = CG, DP = GP, CP = CP) ⇒ ∠DCP = ∠GCP ⇒ ∠DCP = (∠DCG)/2 = 78° ⇔ ∠BCP = x = 6° Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!

Create Date : 15 กุมภาพันธ์ 2558
Last Update : 15 กุมภาพันธ์ 2558 0:00:00 น.
Counter : 902 Pageviews.

0 comment

Fun Geometry Problem with Solution #99

โจทย์

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

พิสูจน์ 1

(1) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ CP = BC (= AD) ⇔ ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ ∠BPC = ∠CBP ⇔ ∠BPC = 48° ⇒ ∠ACP = 30° และ ∠APC = 132°

(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน AC ⇒ ∆ACQ ≅ ∆ACP ⇒ CQ = CP, ∠CAQ = ∠CAP = 18° และ ∠ACQ = ∠ACP = 30°

(3) ∵ CP = CQ และ ∠PCQ = 60° ⇒ ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ PQ = CP (= AD), ∠CPQ = 60° (⇔ ∠APQ = 72°) และ ∠CQP = 60°

พิจารณา ∆APQ จะเห็นว่า ∠P = 2(∠A) และมีจุด D บน AP ซึ่ง AD = PQ ⇒ DQ = PQ (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)

(4) สังเกตว่า CQ = DQ = PQ ⇔ จุด Q เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆CDP แนบใน ⇒ ∠CDP = (∠CQP)/2 ⇔ x = 30° Q.E.D.

พิสูจน์ 2

(1) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ CP = BC (= AD) ⇔ ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ ∠BPC = ∠CBP ⇔ ∠BPC = 48° ⇔ ∠ACP = 30°

(2) ให้ AC = a และ CP = b (⇔ AD = b)

กำหนดจุด Q เหนือ AD ที่ทำให้ AQ = DQ = a ⇒ ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มีฐานยาว b และด้านประกอบมุมยอดยาว a ⇒ ∠AQD = 24° (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์) ⇔ ∠DAQ (= ∠ADQ) = 78° ⇔ ∠CAQ = 60°

(3) ∵ AC = AQ และ ∠CAQ = 60° ⇒ ∆ACQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ CQ = a

สังเกตว่า AQ = CQ = DQ ⇔ จุด Q เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน ⇒ ∠ACD = (∠AQD)/2 ⇔ ∠ACD = 12° ⇔ ∠BDC = x = 30° Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!

Create Date : 12 กุมภาพันธ์ 2558
Last Update : 12 กุมภาพันธ์ 2558 23:08:00 น.
Counter : 963 Pageviews.

0 comment

Fun Geometry Problem with Solution #98

โจทย์

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

พิสูจน์ 1

(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 40°

พิจารณา ∆ABD จะได้ว่า ∠ADB = 50° ⇔ ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด ⇔ AB = AD

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ AP = AB (= AD) ⇔ ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด ⇔ ∠APB = ∠ABP ⇔ ∠APB = 80° ⇒ ∠CAP = 40° และ ∠APC = 100°

(3) ∵ AD = AP และ ∠DAP = 60° ⇒ ∆ADP เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ AP = DP และ ∠APD = 60° (⇔ ∠CPD = 40°)

∵ ∠CAP = ∠ACP ⇔ ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ AP = CP ⇔ DP = CP ⇔ ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 40°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠DCP (= ∠CDP) = 70° ⇔ ∠ACD = x = 30° Q.E.D.

พิสูจน์ 2

หลังจากที่ทราบว่า AB = AD แล้ว อาจพิสูจน์ต่อด้วยวิธีเดียวกันกับ Problem 52

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!

Create Date : 09 กุมภาพันธ์ 2558
Last Update : 9 กุมภาพันธ์ 2558 0:00:00 น.
Counter : 877 Pageviews.

0 comment

Fun Geometry Problem with Solution #97

โจทย์

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

พิสูจน์ 1

(1) กำหนดจุด P ที่ทำให้ ☐ABPD เป็น ☐จัตุรัส ⇒ AB = AD = BP = DP ⇔ BC = BP = DP

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠DBP = 45° ⇔ ∠CBP = 60°

(2) ∵ BC = BP และ ∠CBP = 60° ⇒ ∆BCP เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ BP = CP และ ∠BPC = 60°

สังเกตว่า BP = CP = DP ⇔ จุด P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆BCD แนบใน ⇒ ∠BDC = (∠BPC)/2 ⇔ x = 30° Q.E.D.

พิสูจน์ 2

ให้ AB (= AD = BC) = a

(1) กำหนดจุด P และจุด Q ที่ทำให้ ☐ADQP เป็น ☐มุมฉาก โดยมีจุด C อยู่บน PQ ⇒ ...

• AP = DQ

• PQ = AD ⇔ PQ = a

• ∠ADQ = ∠APQ = ∠DQP = 90°

(2) ∵ AB = AD ⇔ ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 90°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠ABD = 45° (⇔ ∠CBP = 30°) และ ∠ADB = 45° (⇔ ∠BDQ = 45°)

∵ AB = BC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 150°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠BAC (= ∠ACB) = 15°

(3) จะเห็นว่า ∆BCP เป็น ∆มุมฉาก ที่มี ∠P เป็นมุมฉาก และ ∠B = 30° ⇒ CP = BC/2 ⇔ CP = a/2 ⇔ CQ = a/2

สังเกตว่า ∆CDQ ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (DQ = AP, ∠CQD = ∠APC, CQ = CP) ⇒ ∠CDQ = ∠CAP ⇔ ∠CDQ = 15° ⇔ ∠BDC = x = 30° Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!

Create Date : 06 กุมภาพันธ์ 2558
Last Update : 6 กุมภาพันธ์ 2558 0:00:00 น.
Counter : 893 Pageviews.

0 comment

Fun Geometry Problem with Solution #96

โจทย์

จงพิสูจน์ว่า x = 24°

พิสูจน์

(1) ∠ACB = 108°

∵ ∠BAC = ∠ABC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ AC = BC

(2) กำหนดจุด Q เหนือ AB ที่ทำให้ AQ = BQ = AB ⇔ ∆ABQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ ∠ABQ = 60° (⇔ ∠CBQ = 24°) และ ∠AQB = 60°

สังเกตว่า ∆BCQ ≅ ∆ACQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = AC, BQ = AQ, CQ = CQ) ⇒ ∠BQC = ∠AQC = (∠AQB)/2 = 30°

(3) ต่อ BP ออกไปยังจุด R โดยที่ BR = BQ ⇔ BR = AB ⇔ ∆ABR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 12°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠ARB (= ∠BAR) = 84°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∆BCR ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = BC, ∠CBR = ∠CBQ, BR = BQ) ⇒ ∠BRC = ∠BQC ⇔ ∠BRC = 30° ⇔ ∠CRP = ∠CAP ⇔ ☐APCR สามารถแนบในวงกลมได้ ⇔ ∠ACP = ∠ARP ⇔ ∠ACP = 84° ⇔ ∠BCP = x = 24° Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!

Create Date : 03 กุมภาพันธ์ 2558
Last Update : 3 กุมภาพันธ์ 2558 0:01:10 น.
Counter : 749 Pageviews.

0 comment