จงพิสูจน์ว่า x = 30°

พิสูจน์ (Angel Lazo HK)

(1) ∠ACD = 90° - x และ ∠BDC = 130° - x

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   ⇒   AO = CO = DO = ℓ

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠COD = 2(∠CAD)   ⇔   ∠COD = 80°

∵ CO = DO   ⇔   ∆CDO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DCO = 50° (⇔ ∠ACO = 40° - x) และ ∠CDO = 50°

∵ AO = CO   ⇔   ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CAO = ∠ACO   ⇔   ∠CAO = 40° - x

(3) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ CP = ℓ

จะเห็นว่า ∆CDP ≅ ∆CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CD = CD, ∠DCP = ∠DCO, CP = CO)   ⇒   DP = DO   ⇔   DP = ℓ

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CDP = ∠CDO   ⇔   ∠CDP = 50°   ⇒   ∠BDP = 80° - x และ ∠BPD = 100°

(4) กำหนดจุด Q เหนือ BD ที่ทำให้ BQ = DQ = ℓ

จะเห็นว่า ∆BDQ ≅ ∆ACO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BD = AC, BQ = AO, DQ = CO)   ⇒   ∠DBQ = ∠CAO และ ∠BDQ = ∠ACO   ⇔   ∠DBQ = 40° - x และ ∠BDQ = 40° - x   ⇔   ∠PBQ = 2x - 40° และ ∠PDQ = 40°

(5) ให้ α = 20°

สังเกตว่า ☐BPDQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี BQ = DP = DQ, ∠PDQ = 2α และ ∠BPD = 120° - α   ⇒   ∠PBQ = α (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 4)   ⇔   2x - 40° = 20°   ⇔   x = 30°   Q.E.D.

กำหนดให้ ∆ABC เป็น ∆ด้านเท่า

จงพิสูจน์ว่า BP = AP + CP

(1) ∵ ∆ABC เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AC = BC และ ∠BAC = ∠ACB = 60°

สังเกตว่า ∠BAC = ∠BPC   ⇔   ☐ABCP สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠APB = ∠ACB   ⇔   ∠APB = 60°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CAP = ∠CBP

(2) กำหนดจุด Q บน BP ที่ทำให้ PQ = CP

∵ CP = PQ และ ∠CPQ = 60°   ⇒   ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠CQP = 60°   ⇔   ∠BQC = 120°

(3) สังเกตว่า ∆BCQ ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠BQC = ∠APC, ∠CBQ = ∠CAP, BC = AC)   ⇒   BQ = AP

∵ BP = BQ + PQ   ⇔   BP = AP + CP   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) ∠ABC = 40°

∵ ∠CAP = ∠ACP   ⇔   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   AP = CP

(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ = AP (= CP)   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQP = ∠PAQ   ⇔   ∠AQP = 20°

(3) พิจารณา ☐ACPQ จะได้ว่า ∠CPQ (มุมใหญ่) = 360° - 60°   ⇔   ∠CPQ (มุมเล็ก) = 60°

∵ CP = PQ และ ∠CPQ = 60°   ⇒   ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   CQ = PQ

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠PCQ = 60°   ⇔   ∠BCQ = 40°   ⇔   ∠BCQ = ∠CBQ   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   BQ = CQ   ⇔   BQ = PQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BPQ = ∠PBQ   ⇔   ∠BPQ = x

(4) พิจารณา ∆BPQ จะได้ว่า ∠PBQ + ∠BPQ = ∠AQP   ⇔   x + x = 20°   ⇔   x = 10°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 6°

(1) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABP แนบใน   ⇒   ...

     • AO = BO

     • ∠AOP = 2(∠ABP)   ⇔   ∠AOP = 12°

     • ∠BOP = 2(∠BAP)   ⇔   ∠BOP = 48°

∵ AO = BO และ ∠AOB = 60°   ⇒   ∆ABO เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AB = BO และ ∠ABO = 60°

(2) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ BQ = AB (= BO)   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 72°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQB (= ∠BAQ) = 54°

จะเห็นว่า ∆BPQ ≅ ∆BOP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = BP, ∠PBQ = ∠OBP, BQ = BO)   ⇒   ∠BQP = ∠BOP   ⇔   ∠BQP = 48°   ⇔   ∠AQP = 6°

(3) พิจารณา ☐ACQP จะเห็นว่า ∠CAP = ∠BQP   ⇔   ☐ACQP สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠ACP = ∠AQP   ⇔   x = 6°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

(1) ∠ADC = 80°

(2) กำหนดจุด P บน CD ที่ทำให้ AP = AD   ⇔   ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠APD = ∠ADP   ⇔   ∠APD = 80°   ⇔   ∠CAP = 40°

(3) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด A ผ่าน BC   ⇒   ∆BCQ ≅ ∆ABC   ⇒   CQ = AC, ∠BCQ = ∠ACB = 30° และ ∠BQC = ∠BAC = 20°

∵ AC = CQ และ ∠ACQ = 60°   ⇒   ∆ACQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AC = AQ และ ∠CAQ = ∠AQC = 60° (⇔ ∠BAQ = ∠AQB = 40°)

(4) สังเกตว่า ∆ABQ ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BAQ = ∠CAP, AQ = AC, ∠AQB = ∠ACP)   ⇒   AB = AP   ⇔   AB = AD   ⇔   ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ADB (= ∠ABD) = 50°   ⇔  ∠BDC = x = 30°   Q.E.D.