Fun Geometry Problem with Solution #15
Blog นี้จะนำเสนอโจทย์ 2 ข้อ ที่อาจนำไปใช้เป็นทฤษฎีบทในการแก้โจทย์ข้ออื่นๆ ในอนาคต

โจทย์ 1



กำหนดให้ วงกลม O เป็นวงกลมแนบใน ∆ABC โดยมีจุด P, จุด Q และ จุด R เป็นจุดสัมผัส
จงพิสูจน์ว่า AO, BO และ CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC, ∠ABC และ ∠ACB ตามลำดับ
พิสูจน์



(1) ∵ OP และ OQ เป็นรัศมีของวงกลมเดียวกัน   =>   OP = OQ

(2) ∵ จุด P และ จุด Q เป็นจุดสัมผัส   =>   ∠APO = 90° ∧ ∠AQO = 90°

(3) จะเห็นว่า ∆AOP ≅ ∆AOQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ฉ-ด-ด (∠APO = ∠AQO = 90°, OP = OQ, AO = AO)   =>   ∠OAP = ∠OAQ   <=>   AO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC

ใช้การพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า BO และ CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ABC และ ∠ACB ตามลำดับ   Q.E.D.



โจทย์ 2



กำหนดให้ AO และ BO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC และ ∠ABC ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ACB (x = y)
พิสูจน์



กำหนดจุด P, Q และ R บน AC, AB และ BC ตามลำดับ ที่ทำให้ OP ⊥ AC, OQ ⊥ AB และ OR ⊥ BC ตามลำดับ
จะเห็นว่า ∆AOP ≅ ∆AOQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠APO = ∠AQO, ∠OAP = ∠OAQ, AO = AO)   =>   OP = OQ
ในทำนองเดียวกัน ∆BOQ ≅ ∆BOR   =>   OQ = OR
∴ OP = OQ = OR   =>   O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน ∆ABC โดยมีจุด P, จุด Q และ จุด R เป็นจุดสัมผัส   =>   CO เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ACB (x = y)   Q.E.D.



Create Date : 06 มิถุนายน 2557
Last Update : 13 มิถุนายน 2557 21:46:51 น.
Counter : 756 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #14
Blog นี้จะนำเสนอโจทย์ 4 ข้อ ที่อาจนำไปใช้เป็นบทตั้ง (Lemma) ในการแก้โจทย์ข้ออื่นๆ ในอนาคต

โจทย์ 1



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = 120° - α
พิสูจน์



กำหนดจุด P บน AD ที่ทำให้ AP = CP

สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = AB, BP = BP, CP = AP)   =>   ∠BCP = ∠BAP   <=>   ∠BCP = α   <=>   ∠DCP = α
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPC = ∠APB

สังเกตว่า ∆CDP ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CD = BC, ∠DCP = ∠BCP, CP = CP)   =>   ∠CPD = ∠BPC

∴ ∠APB = ∠BPC = ∠CPD

แต่ ∠APB + ∠BPC + ∠CPD = 180°   <=>   ∠CPD = 60°

พิจารณา ∆CDP จะได้ว่า α + x + 60° = 180°   <=>   x = 120° - α   Q.E.D.

หมายเหตุ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า   <=>   ∠B > 180°   <=>   360° - ∠A - ∠C - ∠D > 180°   <=>   360° - α - 2α - (120° - α ) > 180°   <=>   α < 30°



โจทย์ 2



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า AB = BC = CD
พิสูจน์


(1) ∵ BC = CD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠BDC = ∠CBD   <=>   ∠BDC = 90° - α   <=>   ∠ADB = 30°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABD แนบใน   <=>   AO = BO ∧ ∠AOB = 2(∠ADB)   <=>   ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด ∧ ∠AOB = 60°   <=>   ∠BAO = ∠ABO = 60°
∴ ∆ABO เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BO = AB
นอกจากนั้น O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABD แนบใน   <=>   BO = DO ∧ ∠BOD = 2(∠BAD)   <=>   ∆BDO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด ∧ ∠BOD = 2α   <=>   ∠DBO = ∠BDO = 90° - α

(3) สังเกตว่า ∆BDC  ∆BDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠CBD = ∠DBO, BD = BD, ∠BDC = ∠BDO)   =>   BC = BO   <=>   BC = AB
∴ AB = BC = CD   Q.E.D.



โจทย์ 3



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า AB = BC = CD
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆ABC
∵ AB = BC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAC = ∠ACB
∵ ∠ABC = α + 2α + (120° - α) = 120° + 2α   <=>   ∠BAC = 30° - α ∧ ∠ACB = 30° - α   <=>   ∠CAD = 30° ∧ ∠ACD = 30° + α

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   =>   CO = DO ∧ ∠COD = 2(∠CAD)   <=>   ∆CDO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด ∧ ∠COD = 60°   <=>   ∠DCO = ∠CDO = 60°
∴ ∆CDO เป็น ∆ด้านเท่า   =>   CO = CD ∧ ∠ACO = 30° - α
นอกจากนั้น O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   <=>   AO = CO   <=>   ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O เป็นมุมยอด   <=>   ∠CAO = ∠ACO   <=>   ∠CAO = 30° - α

(3) จะเห็นว่า ∆ABC  ∆ACO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BAC = ∠CAO, AC = AC, ∠ACB = ∠ACO)   =>   BC = CO   <=>   BC = CD
∴ AB = BC = CD   Q.E.D.



โจทย์ 4



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = α
พิสูจน์



(1) ∵ BC = CD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠BDC = ∠CBD   <=>   ∠BDC = 90° - α   <=>   ∠ADB = 30°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABD แนบใน   =>   AO = BO = DO, ∠AOB = 2(∠ADB) = 60° และ ∠BOD = 2(∠BAD) = 2x
∵ AO = BO   <=>   ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAO = ∠ABO = 60°
∴ ∆ABO เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BO (= DO) = AB (= BC = CD)

(3) สังเกตว่า ∆BDO  ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BO = BC, BD = BD, DO = DC)   =>   ∠BOD = ∠BCD   <=>   2x = 2α   <=>   x = α   Q.E.D.



Create Date : 03 มิถุนายน 2557
Last Update : 18 สิงหาคม 2557 1:37:40 น.
Counter : 1099 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #13
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 17°
พิสูจน์



(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = AD   <=>   ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   <=>   ∠ADP = ∠APD   <=>   ∠APD = 77°

(2) กำหนดให้จุด Q เป็นจุดตัดระหว่าง AC และ DP
∵ ∠DAQ = ∠PAQ   <=>   AQ เป็นส่วนสูงของ ∆ADP   <=>   DQ = PQ ∧ AQ ⊥ DP   <=>   DQ = PQ ∧ CQ ⊥ DP   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด และมี CQ เป็นส่วนสูง   =>   ∠PCQ = ∠DCQ   <=>   ∠PCQ = 30°   <=>   ∠DCP = 60°
∵ ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด และ ∠DCP = 60°   <=>   ∠CDP = ∠CPD = 60°   
∴ ∆CDP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   CD = DP
∵ ∠CDP = 60°   <=>   ∠BDP = 26°   <=>   ∠DBP = 77°   <=>   ∠DBP = ∠BPD   <=>   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   BD = DP   <=>   BD = CD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   ∠BCD = ∠CBD   <=>   ∠BCD = 47°   <=>   x = 17°   Q.E.D.



Create Date : 31 พฤษภาคม 2557
Last Update : 31 พฤษภาคม 2557 22:18:00 น.
Counter : 886 Pageviews.

1 comment
Fun Geometry Problem with Solution #12
โจทย์



กำหนดให้ 0° < α < 60°
จงพิสูจน์ว่า x = 90° - α
พิสูจน์



(1) ∵ AB = BC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAC = ∠ACB   <=>   ∠BAC = α   <=>   ∠ABC = 180° - 2α

(2) กำหนดจุด P บน CD ที่ทำให้ AB = BP   <=>   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAP = ∠APB
นอกจากนั้น BC = BP   <=>   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   ∠BPC = ∠BCP   <=>   ∠BPC = 30° + α   <=>   ∠CBP = 120° - 2α   <=>   ∠ABP = 60°   <=>   ∠BAP = 60° ∧ ∠APB = 60°
∴ ∆ABP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   AP = AB   <=>   AP = AD   <=>   ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   <=>   ∠ADP = ∠APD   <=>   x = 180° - (∠APB + ∠BPC)   <=>   x = 90° - α   Q.E.D.



Create Date : 28 พฤษภาคม 2557
Last Update : 29 พฤษภาคม 2557 9:22:55 น.
Counter : 821 Pageviews.

1 comment
Fun Geometry Problem with Solution #11
โจทย์


จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์



(1) ∠ADC = 3x

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ DP = BD   <=>   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   ∠BPD = ∠DBP   <=>   ∠BPD = 2x   <=>   ∠CDP = x   <=>   ∠CDP = ∠DCP   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   CP = DP   =>   CP = BD

(3) ต่อ BA ออกไปยังจุด Q โดยที่ CQ = AC   <=>   ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠AQC = ∠CAQ   <=>   ∠AQC = 180° - ∠CAB  = 90° - x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า CQ = BD
พิจารณา ∆BCQ จะได้ว่า ∠BCQ = 90° - x   <=>   ∠BCQ = ∠BQC   <=>   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   BQ = BC   <=>   BD + DQ = BP + CP   <=>   DQ = BP

(4) กำหนดจุด R ภายใน ∆CDQ ที่ทำให้ ∠QDR = 2x และ ∠DQR = 2x   <=>   ∠CDR = x และ ∠CQR = 90° - 3x
จะเห็นว่า ∆DQR  ∆BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠QDR = ∠DBP, DQ = BP, ∠DQR = ∠BPD)   =>   DR = BD และ QR = DP  <=>   DR = DP และ QR = BD
จะเห็นว่า ∆CDR  ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (DR = DP, ∠CDR = ∠CDP, CD = CD)   =>   CR = CP   <=>   CR = BD

(5) จะเห็นว่า CQ = CR = QR   <=>   ∆CQR เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠CQR = 60°   <=>   90° - 3x = 60°   <=>   x = 10°   Q.E.D.



Create Date : 25 พฤษภาคม 2557
Last Update : 5 กันยายน 2557 1:21:16 น.
Counter : 808 Pageviews.

1 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog