Fun Geometry Problem with Solution #65
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 20°
พิสูจน์



(1) ACB = 180° - 5x, BCD = 90° - 4x

(2) กำหนดจุด P ใต้ AB ที่ทำให้ CP = BC และ ACP = x (<=> BCP = 180° - 6x)
 BC = CP   <=>   BCP เป็น หน้าจั่ว ที่มี C (= 180° - 6x) เป็นมุมยอด   <=>   CBP (= BPC) = 3x   <=>   ABP = 2x
จะเห็นว่า ACP  BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BD, ACP = CBD, CP = BC)   =>   APC = BCD   <=>   APC = 90° - 4x   <=>   APB = 90° - x   
พิจารณา ABP จะได้ว่า ∠BAP = 90° - x   <=>   ∠BAP = ∠APB   <=>   ∆ABP เป็น หน้าจั่ว ที่มี B เป็นมุมยอด   <=>   AB = BP

(3) สังเกตว่า AB = BP และ ABP = 2(ACP)   <=>   จุด B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ACP แนบใน   =>   ABC = 2(APC)   <=>   x = 2(90° - 4x)   <=>   x = 20°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 03 พฤศจิกายน 2557
Last Update : 3 พฤศจิกายน 2557 0:00:00 น.
Counter : 620 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #64
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ CP = BC   <=>   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠BPC = ∠CBP   <=>   ∠BPC = 84°   <=>   ∠BCP = 12°   <=>   ∠DCP = 30°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠APC = 96°

(2) กำหนดจุด O ทางด้านซ้ายของ CP ที่ทำให้ CO = OP = CP (= BC = AD)   <=>   ∆COP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   OCP = 60° (<=> ∠DCO = 30°), ∠COP = 60° และ ∠CPO = 60° (<=> ∠APO = 36°)
สังเกตว่า CDO  CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CO = CP, DCO = DCP, CD = CD)   =>   DO = DP   <=>   DOP เป็น หน้าจั่ว ที่มี D เป็นมุมยอด   <=>   DOP = DPO   <=>   DOP = 36°   <=>   ADO = 72°

(3) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ OQ = DO   <=>   ∆DOQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด   <=>   ∠DQO = ∠ODQ   <=>   ∠DQO = 72°   <=>   ∠POQ = 72°
∵ ∠POQ = ∠OQP   <=>   ∆OPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   PQ = OP   <=>   PQ = AD
สังเกตว่า ∆ADO  ∆OPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = PQ, ∠ADO = ∠OQP, DO = OQ)   =>   AO = OP

(4) สังเกตว่า AO = CO = OP   <=>   จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACP แนบใน   =>   ∠CAP = (∠COP)/2   <=>   x = 30°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 31 ตุลาคม 2557
Last Update : 31 ตุลาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 546 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #63
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 54°
พิสูจน์



(1) ∵ AD = BD   <=>   ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 36°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAD = ∠ABD = 72°
∵ BC = BD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 24°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BCD = ∠BDC = 78°

(2) กำหนดจุด Q นอก ∆ABD ที่ทำให้ DQ = AD (= BD = BC) และ ∠ADQ = 24°
จะเห็นว่า ∆ADQ  ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BD, ∠ADQ = ∠CBD, DQ = BC)   =>   AQ = CD
∵ BD = DQ และ ∠BDQ = 60°   =>   ∆BDQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BQ = BD
∵ AD = BD = DQ   <=>   จุด D เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่มี ∆ABQ แนบใน   =>   ∠ABQ = (∠ADQ)/2 และ ∠AQB = (∠ADB)/2   <=>   ∠ABQ = 12° และ ∠AQB = 18°

(3) กำหนดจุด R ใน ∆ABD ที่ทำให้ AB = AR = BR   <=>   ∆ABR เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠BAR = 60° (<=> ∠DAR = 12°), ∠ABR = 60° (<=> ∠DBR = 12°) และ ∠ARB = 60°
สังเกตว่า ∆BDR  ∆ABQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BR = AB, ∠DBR = ∠ABQ, BD = BQ)   =>   ∠BDR = ∠AQB   <=>   ∠BDR = 18°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DR = AQ   <=>   DR = CD   <=>   ∆CDR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 96°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠DCR (= ∠CRD) = 42°   <=>   ∠BCR = 36°   <=>   ∠BCR = ∠CBR   <=>   ∆BCR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   <=>   BR = CR

(4) สังเกตว่า AR = BR = CR   <=>   จุด R เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ∠ACB = (∠ARB)/2   <=>   ∠ACB = 30°   <=>   ∠ACR = 6°
∵ AR = CR   <=>   ∆ACR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   <=>   ∠CAR = ∠ACR   <=>   ∠CAR = 6°
พิจารณา ∆ADP จะได้ว่า ∠APB = x = 54°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 28 ตุลาคม 2557
Last Update : 28 ตุลาคม 2557 0:30:00 น.
Counter : 635 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #62
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 6°
พิสูจน์



(1) ต่อ BA ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠BPC = 24°   <=>   ∠BPC = ∠CBP   <=>   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   CP = BC   <=>   CP = AD
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ACP = 30°

(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน AC   =>   ∆ACQ  ∆ACP   =>   CQ = CP, ∠ACQ = ∠ACP = 30° และ ∠AQC = ∠APC = 24°
∵ CP = CQ และ ∠PCQ = 60°   =>   ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า   <=>   CP = CQ = PQ (= AD)
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CPQ = ∠CQP = 60°   <=>   ∠APQ = ∠AQP = 36°   =>   ∠DAQ = 72°

(3) กำหนดจุด R บน AD ที่ทำให้ QR = AQ   <=>   ∆AQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   ∠ARQ = ∠QAR   <=>   ∠ARQ = 72°   <=>   ∠PQR = 72°
∴ ∠PQR = ∠PRQ   <=>   ∆PQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   PR = PQ   <=>   PR = AD

(4) สังเกตว่า ∆ADQ  ∆PQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = PR, ∠DAQ = ∠PRQ, AQ = QR)   =>   ∠ADQ = ∠QPR   <=>   ∠ADQ = 36°   =>   ∠DQP = 108°   <=>   ∠CQD = 48°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DQ = PQ   <=>   DQ = CQ   <=>   ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 48°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠CDQ (= ∠DCQ) = 66°   <=>   ∠ADC = 30°   <=>   ∠BCD = x = 6°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 25 ตุลาคม 2557
Last Update : 25 ตุลาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 828 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #61
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 75°
พิสูจน์



(1) ∠ADC = 120° และ ∠BDC = 60°

(2) กำหนดให้ AD = a   <=>   BD = 2a 

(3) กำหนดจุด P เป็นจุดแบ่งครึ่ง BD   =>   BP = DP = BD/2 = a

(4) กำหนดจุด Q บน CD ที่ทำให้ DQ = a   =>   ...
     • DQ = DP โดยมี ∠PDQ = 60°   =>   ∆DPQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   PQ = DQ และ ∠DPQ = 60°
       สังเกตว่า ∆APQ  ∆BDQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = BD, ∠APQ = ∠BDQ, PQ = DQ)   =>   AQ = BQ
     • DQ = AD   <=>   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 120°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠DAQ = 30° และ ∠AQD = 30°   <=>   ∠CAQ = 15° และ ∠AQC = 150°
       จะเห็นว่า ∠CAQ = ∠ACQ   <=>   ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   AQ = CQ
∴ AQ = BQ = CQ   <=>   จุด Q เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ∠ABC = (∠AQC)/2   <=>   x = 75°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 22 ตุลาคม 2557
Last Update : 22 ตุลาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 587 Pageviews.

0 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog