จงพิสูจน์ว่า x = 20°

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

จงพิสูจน์ว่า x = 54°

(1) ∵ AD = BD   <=>   ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 36°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAD = ∠ABD = 72°

∵ BC = BD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 24°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BCD = ∠BDC = 78°

(2) กำหนดจุด Q นอก ∆ABD ที่ทำให้ DQ = AD (= BD = BC) และ ∠ADQ = 24°

จะเห็นว่า ∆ADQ ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BD, ∠ADQ = ∠CBD, DQ = BC)   =>   AQ = CD

∵ BD = DQ และ ∠BDQ = 60°   =>   ∆BDQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BQ = BD

∵ AD = BD = DQ   <=>   จุด D เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่มี ∆ABQ แนบใน   =>   ∠ABQ = (∠ADQ)/2 และ ∠AQB = (∠ADB)/2   <=>   ∠ABQ = 12° และ ∠AQB = 18°

(3) กำหนดจุด R ใน ∆ABD ที่ทำให้ AB = AR = BR   <=>   ∆ABR เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠BAR = 60° (<=> ∠DAR = 12°), ∠ABR = 60° (<=> ∠DBR = 12°) และ ∠ARB = 60°

สังเกตว่า ∆BDR ≅ ∆ABQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BR = AB, ∠DBR = ∠ABQ, BD = BQ)   =>   ∠BDR = ∠AQB   <=>   ∠BDR = 18°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า DR = AQ   <=>   DR = CD   <=>   ∆CDR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 96°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠DCR (= ∠CRD) = 42°   <=>   ∠BCR = 36°   <=>   ∠BCR = ∠CBR   <=>   ∆BCR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   <=>   BR = CR

(4) สังเกตว่า AR = BR = CR   <=>   จุด R เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ∠ACB = (∠ARB)/2   <=>   ∠ACB = 30°   <=>   ∠ACR = 6°

∵ AR = CR   <=>   ∆ACR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   <=>   ∠CAR = ∠ACR   <=>   ∠CAR = 6°

พิจารณา ∆ADP จะได้ว่า ∠APB = x = 54°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 6°

(1) ต่อ BA ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠BPC = 24°   <=>   ∠BPC = ∠CBP   <=>   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   CP = BC   <=>   CP = AD

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ACP = 30°

(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน AC   =>   ∆ACQ ≅ ∆ACP   =>   CQ = CP, ∠ACQ = ∠ACP = 30° และ ∠AQC = ∠APC = 24°

∵ CP = CQ และ ∠PCQ = 60°   =>   ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า   <=>   CP = CQ = PQ (= AD)

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CPQ = ∠CQP = 60°   <=>   ∠APQ = ∠AQP = 36°   =>   ∠DAQ = 72°

(3) กำหนดจุด R บน AD ที่ทำให้ QR = AQ   <=>   ∆AQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   ∠ARQ = ∠QAR   <=>   ∠ARQ = 72°   <=>   ∠PQR = 72°

∴ ∠PQR = ∠PRQ   <=>   ∆PQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   PR = PQ   <=>   PR = AD

(4) สังเกตว่า ∆ADQ ≅ ∆PQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = PR, ∠DAQ = ∠PRQ, AQ = QR)   =>   ∠ADQ = ∠QPR   <=>   ∠ADQ = 36°   =>   ∠DQP = 108°   <=>   ∠CQD = 48°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า DQ = PQ   <=>   DQ = CQ   <=>   ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 48°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠CDQ (= ∠DCQ) = 66°   <=>   ∠ADC = 30°   <=>   ∠BCD = x = 6°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 75°

(1) ∠ADC = 120° และ ∠BDC = 60°

(2) กำหนดให้ AD = a   <=>   BD = 2a 

(3) กำหนดจุด P เป็นจุดแบ่งครึ่ง BD   =>   BP = DP = BD/2 = a

(4) กำหนดจุด Q บน CD ที่ทำให้ DQ = a   =>   ...

     • DQ = DP โดยมี ∠PDQ = 60°   =>   ∆DPQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   PQ = DQ และ ∠DPQ = 60°

       สังเกตว่า ∆APQ ≅ ∆BDQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = BD, ∠APQ = ∠BDQ, PQ = DQ)   =>   AQ = BQ

     • DQ = AD   <=>   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 120°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠DAQ = 30° และ ∠AQD = 30°   <=>   ∠CAQ = 15° และ ∠AQC = 150°

       จะเห็นว่า ∠CAQ = ∠ACQ   <=>   ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   AQ = CQ

∴ AQ = BQ = CQ   <=>   จุด Q เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ∠ABC = (∠AQC)/2   <=>   x = 75°   Q.E.D.