จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) ∠ABC = 180° - 10x และ ∠ADB = 3x

(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ DP = CD   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   ∠CPD = ∠DCP   <=>   ∠CPD = 2x   <=>   ∠ADP = x   <=>   ∠ADP = ∠DAP   <=>   ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   AP = DP

(3) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ AQ = AB (= CD = DP = AP)   <=>   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   <=>   ∠AQB = ∠ABQ   <=>   ∠AQB = 180° - 10x   <=>   ∠BAQ = 20x - 180°   <=>   ∠PAQ = 180° - 12x

∵ ∠AQB = 180° - 10x   <=>   ∠AQD = 10x

(4) ∵ AP = AQ   <=>   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 180° - 12x) เป็นมุมยอด   <=>   ∠AQP (= ∠APQ) = 6x   <=>   ∠DQP = 4x   <=>   ∠DQP = ∠PDQ   <=>   ∆DPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   PQ = DP   <=>   PQ = AP = AQ

∴ ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠AQP = 60°   <=>   6x = 60°   <=>   x = 10°   Q.E.D.

หมายเหตุ ค่า x = 10° ที่หาได้นี้ ถือเป็นคำตอบที่สมเหตุสมผล สอดคล้องกับการกำหนดจุด Q ใน (3) เนื่องจากเราได้ให้จุด Q อยู่บน BC ก็เท่ากับเราสมมติว่า ∠ABC ไม่เป็นมุมป้าน   <=>   180° - 10x ≤ 90°   <=>   x ≥ 9°

แต่ถ้าสมมติว่า ∠ABC เป็นมุมป้าน   <=>   x < 9° จะทำให้จุด Q เปลี่ยนไปอยู่บนส่วนต่อขยายของ CB แทน และเมื่อพิสูจน์ต่อในทำนองเดียวกัน ก็จะได้ x = 10° เหมือนเดิม แต่ค่า x ที่หาได้นี้ไม่อยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ นั่นคือเกิดข้อขัดแย้งขึ้น จึงสรุปได้ว่า ∠ABC ไม่เป็นมุมป้าน

จงพิสูจน์ว่า x = 80°

(1) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQ = AB   <=>   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 40°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ABQ = ∠AQB = 70°

∵ ∠ABQ = 70° และ ∠ABC = 40°   =>   ∠CBQ = 30°

พิจารณา ∆BCQ จะได้ว่า ∠BCQ = 80°

(2) สังเกตว่า ∆APQ ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AQ = AB, ∠PAQ = ∠BAP, AP = AP)   =>   ∠AQP = ∠ABP = 10°   <=>   ∠BQP = ∠PBQ = 60°   =>   ∠BPQ = 60°

∴ ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BP = BQ

(3) สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = BQ, ∠CBP = ∠CBQ, BC = BC)   =>   ∠BCP = ∠BCQ   <=>   x = 80°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า AC + AD = BD + CD

(1) ∠BCD = 30° และ ∠BDC = 80°

(2) ต่อ DC ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠BPD = 20°   =>   CP = BD (คลิกเพื่อดูวิธีการพิสูจน์ใน Problem 26)

พิจารณา ∆BDP จะได้ว่า ∠DBP = 80°

(3) ต่อ CD ออกไปยังจุด Q โดยที่ CQ = DP   <=>   CD + DQ = CD + CP   <=>   DQ = CP   <=>   DQ = BD

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ADQ = ∠BDC   <=>   ∠ADQ = 80°

(4) ต่อ CA ออกไปยังจุด R โดยที่ CR = BP

สังเกตว่า ∆CQR ≅ ∆BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CQ = DP, ∠QCR = ∠BPD, CR = BP)   =>   ∠CQR = ∠BDP และ ∠CRQ = ∠DBP   <=>   ∠CQR = 80° และ ∠CRQ = 80°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า QR = BD   <=>   QR = DQ   <=>   ∆DQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 80°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠QDR = ∠DRQ = 50°   <=>   ∠ADR = ∠ARD = 30°   <=>   ∆ADR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 120°) เป็นมุมยอด   <=>   AD = AR

(5) ∵ ∠CRQ = ∠CQR = 80°   <=>   ∆CQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 20°) เป็นมุมยอด   <=>   CR = CQ   <=>   AC + AR = DQ + CD   <=>   AC + AD = BD + CD   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 45°

(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 135°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ...

(3) ∵ BO = CO   <=>   ∆BCO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠CBO = ∠BCO = 60°

∴ ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BC = CO

(5) สังเกตว่า ∆BCD ≅ ∆CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = CO, BD = DO, CD = CD)   =>   ∠BCD (= ∠DCO) = (∠BCO)/2 = 30°   <=>   ∠ADC = x = 45°   Q.E.D.

(1) ต่อ AC ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = BP   <=>   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠ABP = ∠BAP   <=>   ∠ABP = 30°   <=>   ∠CBP = 15°   <=>   ∠CBP = ∠ABC

พิจารณา ∆ABP ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด

∵ AD = BD   <=>   DP เป็นส่วนสูงของ ∆ABP   =>   ∠ADP = 90° และ ∠BDP = 90°   <=>   ∠APD = 60° และ ∠BPD = 60°

(2) ต่อ BP ออกไปยังจุด Q (ตามใจชอบ)   =>   ∠APQ = 60°   <=>   ∠APQ = ∠APD

(3) พิจารณา ∆BDP จะเห็นว่า...

     =>   จุด C เป็น excenter ตรงข้ามจุด B (ศึกษาเพิ่มเติมได้ ที่นี่)   =>   CD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ADP (มุมภายนอก)   <=>   ∠ADC (= ∠CDP) = (∠ADP)/2 = 45°   <=>   x = 45°   Q.E.D.

กำหนดให้ AB + BD = BC

จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) กำหนดให้ AB = a และ BD = b   =>   BC = a + b

(2) พิจารณา ∆ABD จะได้ว่า ∠BAD = 30°

(3) ต่อ BA ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠BPD = 20°   =>   AP = BD (คลิกเพื่อดูวิธีการพิสูจน์ใน Problem 26)   <=>   AP = b   <=>   BP = a + b   

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ADP = 10°   <=>   ∠BDP = 80°   <=>   ∠BDP = ∠DBP   <=>   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   DP = BP   <=>   DP = a + b

(4) กำหนดจุด Q บน DP ที่ทำให้ AQ = b

จะเห็นว่า AQ = AP   <=>   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   <=>   ∠AQP = ∠APQ   <=>   ∠AQP = 20°   <=>   ∠DAQ = 10°   <=>   ∠DAQ = ∠ADQ   <=>   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   DQ = AQ   <=>   DQ = b   <=>   PQ = a

(5) พิจารณา ∆APQ จะได้ว่า ∠PAQ = 140°

(6) กำหนดจุด R บน BC ที่ทำให้ BR = b   <=>   CR = a

สังเกตว่า ∆BDR ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = AP, ∠DBR = ∠PAQ, BR = AQ)   =>   ∠BRD = ∠AQP   <=>   ∠BRD = 20°   <=>   ∠CRD = 160°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า DR = PQ   <=>   DR = a   <=>   DR = CR   <=>   ∆CDR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R (= 160°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠DCR (= ∠CDR) = x = 10°   Q.E.D.