Fun Geometry Problem with Solution #45
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์



(1) ABC = 180° - 10x และ ADB = 3x

(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ DP = CD   <=>   CDP เป็น หน้าจั่ว ที่มี D เป็นมุมยอด   <=>   CPD = DCP   <=>   CPD = 2x   <=>   ADP = x   <=>   ADP = DAP   <=>   ADP เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   <=>   AP = DP

(3) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ AQ = AB (= CD = DP = AP)   <=>   ABQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี A เป็นมุมยอด   <=>   AQB = ABQ   <=>   AQB = 180° - 10x   <=>   BAQ = 20x - 180°   <=>   PAQ = 180° - 12x
AQB = 180° - 10x   <=>   AQD = 10x

(4)  AP = AQ   <=>   APQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี A (= 180° - 12x) เป็นมุมยอด   <=>   AQP (= APQ) = 6x   <=>   DQP = 4x   <=>   DQP = PDQ   <=>   DPQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   <=>   PQ = DP   <=>   PQ = AP = AQ
APQ เป็น ด้านเท่า   =>   AQP = 60°   <=>   6x = 60°   <=>   x = 10°   Q.E.D.

หมายเหตุ ค่า x = 10° ที่หาได้นี้ ถือเป็นคำตอบที่สมเหตุสมผล สอดคล้องกับการกำหนดจุด Q ใน (3) เนื่องจากเราได้ให้จุด Q อยู่บน BC ก็เท่ากับเราสมมติว่า ABC ไม่เป็นมุมป้าน   <=>   180° - 10x ≤ 90°   <=>   x ≥ 9°
แต่ถ้าสมมติว่า ABC เป็นมุมป้าน   <=>   x < 9° จะทำให้จุด Q เปลี่ยนไปอยู่บนส่วนต่อขยายของ CB แทน และเมื่อพิสูจน์ต่อในทำนองเดียวกัน ก็จะได้ x = 10° เหมือนเดิม แต่ค่า x ที่หาได้นี้ไม่อยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ นั่นคือเกิดข้อขัดแย้งขึ้น จึงสรุปได้ว่า ABC ไม่เป็นมุมป้าน



Create Date : 04 กันยายน 2557
Last Update : 4 กันยายน 2557 0:02:01 น.
Counter : 599 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #44
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 80°
พิสูจน์



(1) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQ = AB   <=>   ABQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี A (= 40°) เป็นมุมยอด   <=>   ABQ = AQB = 70°
ABQ = 70° และ ABC = 40°   =>   CBQ = 30°
พิจารณา BCQ จะได้ว่า BCQ = 80°

(2) สังเกตว่า APQ  ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AQ = AB, PAQ = BAP, AP = AP)   =>   AQP = ABP = 10°   <=>   BQP = PBQ = 60°   =>   BPQ = 60°
BPQ เป็น ด้านเท่า   =>   BP = BQ

(3) สังเกตว่า BCP  BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = BQ, CBP = CBQ, BC = BC)   =>   BCP = BCQ   <=>   x = 80°   Q.E.D.



Create Date : 01 กันยายน 2557
Last Update : 1 กันยายน 2557 0:00:01 น.
Counter : 719 Pageviews.

1 comment
Fun Geometry Problem with Solution #43
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า AC + AD = BD + CD
พิสูจน์



(1) BCD = 30° และ BDC = 80°

(2) ต่อ DC ออกไปยังจุด P โดยที่ BPD = 20°   =>   CP = BD (คลิกเพื่อดูวิธีการพิสูจน์ใน Problem 26)
พิจารณา BDP จะได้ว่า DBP = 80°

(3) ต่อ CD ออกไปยังจุด Q โดยที่ CQ = DP   <=>   CD + DQ = CD + CP   <=>   DQ = CP   <=>   DQ = BD
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ADQ = BDC   <=>   ADQ = 80°

(4) ต่อ CA ออกไปยังจุด R โดยที่ CR = BP
สังเกตว่า CQR  BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CQ = DP, QCR = BPD, CR = BP)   =>   CQR = BDP และ CRQ = DBP   <=>   CQR = 80° และ CRQ = 80°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า QR = BD   <=>   QR = DQ   <=>   DQR เป็น หน้าจั่ว ที่มี Q (= 80°) เป็นมุมยอด   <=>   QDR = DRQ = 50°   <=>   ADR = ARD = 30°   <=>   ADR เป็น หน้าจั่ว ที่มี A (= 120°) เป็นมุมยอด   <=>   AD = AR

(5)  CRQ = CQR = 80°   <=>   CQR เป็น หน้าจั่ว ที่มี C (= 20°) เป็นมุมยอด   <=>   CR = CQ   <=>   AC + AR = DQ + CD   <=>   AC + AD = BD + CD   Q.E.D.



Create Date : 29 สิงหาคม 2557
Last Update : 29 สิงหาคม 2557 0:32:00 น.
Counter : 722 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #42
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 45°
พิสูจน์ 1



(1) พิจารณา ABC จะได้ว่า ACB = 135°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ...
     • AO = BO = CO
     • BOC = 2(BAC) = 60°
     • ∠AOB (มุมใหญ่) = 2(∠ACB) = 270°   <=>   ∠AOB (มุมเล็ก) = 90°

(3)  BO = CO   <=>   BCO เป็น หน้าจั่ว ที่มี O (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   CBO = BCO = 60°
BCO เป็น ด้านเท่า   =>   BC = CO

(4) ∵ AO = BO   <=>   ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 90°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ABO (= ∠BAO) = 45°
พิจารณา ∆ABO ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด
∵ AD = BD   <=>   DO เป็นส่วนสูงของ ∆AOB   <=>   ∠BOD = (∠AOB)/2 = 45°   <=>   ∠BOD = ∠DBO   <=>   ∆BDO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   BD = DO

(5) สังเกตว่า BCD  CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = CO, BD = DO, CD = CD)   =>   BCD (= DCO) = (BCO)/2 = 30°   <=>   ADC = x = 45°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2



(1) ต่อ AC ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = BP   <=>   ABP เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   <=>   ABP = BAP   <=>   ABP = 30°   <=>   CBP = 15°   <=>   CBP = ABC
พิจารณา ABP ซึ่งเป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด
 AD = BD   <=>   DP เป็นส่วนสูงของ ABP   =>   ADP = 90° และ BDP = 90°   <=>   APD = 60° และ BPD = 60°

(2) ต่อ BP ออกไปยังจุด Q (ตามใจชอบ)   =>   APQ = 60°   <=>   APQ = APD

(3) พิจารณา BDP จะเห็นว่า...
     Œ• AP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง DPQ (มุมภายนอก)
     • BC เป็นเส้นแบ่งครึ่ง DBP (มุมภายใน)
     • AP และ BC พบกันที่จุด C
     =>   จุด C เป็น excenter ตรงข้ามจุด B (ศึกษาเพิ่มเติมได้ ที่นี่)   =>   CD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ADP (มุมภายนอก)   <=>   ADC (= CDP) = (ADP)/2 = 45°   <=>   x = 45°   Q.E.D.



Create Date : 26 สิงหาคม 2557
Last Update : 27 สิงหาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 769 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #41
โจทย์



กำหนดให้ AB + BD = BC
จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์



(1) กำหนดให้ AB = a และ BD = b   =>   BC = a + b

(2) พิจารณา ABD จะได้ว่า BAD = 30°

(3) ต่อ BA ออกไปยังจุด P โดยที่ BPD = 20°   =>   AP = BD (คลิกเพื่อดูวิธีการพิสูจน์ใน Problem 26)   <=>   AP = b   <=>   BP = a + b   
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ADP = 10°   <=>   BDP = 80°   <=>   BDP = DBP   <=>   BDP เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   <=>   DP = BP   <=>   DP = a + b

(4) กำหนดจุด Q บน DP ที่ทำให้ AQ = b
จะเห็นว่า AQ = AP   <=>   APQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี A เป็นมุมยอด   <=>   AQP = APQ   <=>   AQP = 20°   <=>   DAQ = 10°   <=>   DAQ = ADQ   <=>   ADQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี Q เป็นมุมยอด   <=>   DQ = AQ   <=>   DQ = b   <=>   PQ = a

(5) พิจารณา APQ จะได้ว่า PAQ = 140°

(6) กำหนดจุด R บน BC ที่ทำให้ BR = b   <=>   CR = a
สังเกตว่า BDR  APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = AP, DBR = PAQ, BR = AQ)   =>   BRD = AQP   <=>   BRD = 20°   <=>   CRD = 160°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DR = PQ   <=>   DR = a   <=>   DR = CR   <=>   CDR เป็น หน้าจั่ว ที่มี R (= 160°) เป็นมุมยอด   <=>   DCR (= CDR) = x = 10°   Q.E.D.



Create Date : 23 สิงหาคม 2557
Last Update : 23 สิงหาคม 2557 0:01:00 น.
Counter : 1012 Pageviews.

0 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog