Fun Geometry Problem with Solution #30
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 9°
พิสูจน์



(1) ∵ AB = AC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 90°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ABC (= ∠ACB) = 45°   <=>   ∠ABP = 45° - 2x

(2) ∵ ∠BAC = 90°   <=>   ∠CAP = 90° - 5x   <=>   ∠APC = 90° + 2x



Create Date : 21 กรกฎาคม 2557
Last Update : 21 กรกฎาคม 2557 0:01:02 น.
Counter : 846 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #29
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 100°   <=>   ∠BCP = 60°

(2) กำหนดจุด Q ภายใน ∆ABP ที่ทำให้ ∠BAQ = 10° และ ∠ABQ = 10°   <=>   ∠PAQ = 10° และ ∠CBQ = 40°
∵ ∠BAQ = ∠ABQ   <=>   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   AQ = BQ

(3) กำหนดให้ α = 20°
สังเกตว่า ☐ACBQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AQ = BQ, ∠A = α, ∠B = 2α และ ∠C = 120° - α   =>   BC = BQ (คลิกเพื่อดูวิธีการพิสูจน์ในโจทย์ 3)   <=>   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠B (= 40°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BCQ (= ∠BQC) = 70°   <=>   ∠PCQ = 10°   <=>   ∠PCQ = ∠PAQ   <=>   ☐ACPQ สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠CQP = ∠CAP   <=>   ∠CQP = 10°
∴ ∠PCQ = ∠CQP   <=>   ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   CP = PQ
สังเกตว่า ∆BPQ ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BQ = BC, PQ = CP, BP = BP)   =>   ∠PBQ (= ∠PBC) = (∠CBQ)/2 = 20°   <=>   ∠ABP = x = 30°   Q.E.D.

หมายเหตุ ในตอนแรก เราสามารถแสดงว่าจุด Q อยู่ใน ∆ABP แน่ๆ (หรือแสดงว่า x > 10° แน่ๆ) ได้ดังนี้
สมมติว่า x ≤ 10° แล้วจะทำให้จุด Q อยู่ใน ∆BCP หรืออยู่บน BP 
ผลก็คือ ∠BCQ < ∠BCP หรือ 70° < 60° ซึ่งเป็นไปไม่ได้
เพราะฉะนั้น x > 10°



Create Date : 18 กรกฎาคม 2557
Last Update : 18 กรกฎาคม 2557 0:00:54 น.
Counter : 731 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #28
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์



(1) ∠BAC = 60° - 2x และ ∠BCD = x

(2) ต่อ AC ออกไปยังจุด P โดยที่ DP = AD   <=>   ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   ∠APD = ∠DAP   <=>   ∠APD = 60° - 2x
∵ ∠ACB = 120°   <=>   ∠BCP = 60°   <=>   ∠DCP = 60° + x
พิจารณา ∆CDP จะได้ว่า ∠CDP = 60° + x   <=>   ∠CDP = ∠DCP   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   CP = DP   <=>   CP = AD   <=>   CP = BC   <=>   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠C (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠CBP = ∠BPC = 60°
∴ ∆BCP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BP = CP   <=>   BP = DP   <=>   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠BDP = ∠DBP   <=>   ∠BDP = 60° + 2x
∵ ∠ADB = 180°   <=>   ∠ADC + ∠CDP + ∠BDP = 180°   <=>   3x + (60° + x) + (60° + 2x) = 180°   <=>   x = 10°   Q.E.D.



Create Date : 15 กรกฎาคม 2557
Last Update : 15 กรกฎาคม 2557 0:01:02 น.
Counter : 779 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #27
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 63°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆ABD และ ∆BCD จะได้ว่า ∠ADB = 52° และ ∠BCD = 71°

(2) กำหนดให้จุด B' เป็นภาพสะท้อนของจุด B ผ่าน AD   =>   ∆ABD ≅ ∆AB'D โดยที่ AB = AB', ∠BAD = ∠B'AD = 30°, ∠ABD = ∠AB'D = 98° และ ∠ADB = ∠ADB' = 52°
∵ AB = AB' และ ∠BAB' = ∠BAD + ∠B'AD = 60°   <=>   ∆ABB' เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠A (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ABB' = ∠AB'B = 60°
∴ ∆ABB' เป็น ∆ด้านเท่า   =>   AB' = BB'
∵ ∠ADB = ∠ADB' = 52°   =>   ∠B'DC = 180°   =>   จุด B', จุด D และ จุด C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน   =>   ∠BCB' = ∠BCD   <=>   ∠BCB' = 71°
∵ ∠ABD = 98° และ ∠ABB' = 60°   =>   ∠B'BD = 38°   <=>   ∠B'BC = 71°   <=>   ∠B'BC = ∠BCB'   <=>   ∆BB'C เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠B' เป็นมุมยอด   <=>   BB' = B'C   <=>   AB' = B'C   <=>   ∆AB'C เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠B' (= 98°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ACB' (= ∠B'AC) = 41°
พิจารณา ∆CDE จะได้ว่า ∠CED = 63°   <=>   ∠AEB = x = 63°   Q.E.D.



Create Date : 12 กรกฎาคม 2557
Last Update : 15 กรกฎาคม 2557 0:04:04 น.
Counter : 870 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #26
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า AB = CD
พิสูจน์



(1) ∠CBD = 10°   <=>   ∠ABC = 80°   <=>   ∠ABC = ∠BAC   <=> ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   AC = BC

(2) กำหนดจุด P ทางด้านขวาของ AC ที่ทำให้ AC = AP = CP   <=>   ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠CAP = ∠ACP = ∠APC = 60°
∵ ∠CAP = 60°   <=>   ∠BAP = 20°   <=>   ∠BAP = ∠BCD
∵ AP = AC   <=>   AP = BC
∵ ∠ACP = 60°   <=>   ∠BCP = 40°
∵ BC = AC   <=>   BC = CP   <=>   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠BPC (= ∠CBP) = 70°   <=>   ∠APB = 10° (= ∠CBD)   <=>   ∠APB = ∠CBD
สังเกตว่า ∆ABP ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BAP = ∠BCD, AP = BC, ∠APB = ∠CBD)   =>   AB = CD   Q.E.D.



Create Date : 09 กรกฎาคม 2557
Last Update : 9 กรกฎาคม 2557 0:00:32 น.
Counter : 890 Pageviews.
 
0 comment
Share
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  
TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog