(1) ∠APB = 120°

(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ AQ = BP

พิจารณา ∆ABP จะเห็นว่า ∠A = 40°, ∠B = 20° และมีจุด Q บน AB ซึ่ง AQ = BP   ⇒   ∠AQP = 30° (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)

(3) กำหนดจุด R บน BC ที่ทำให้ BR = PQ
จะเห็นว่า ∆BPR ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = AQ, ∠PBR = ∠AQP, BR = PQ)   ⇒   ∠BPR = ∠PAQ   ⇔   ∠BPR = 40°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า PR = AP   ⇔   ∆APR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 160°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠PAR = ∠ARP = 10°

(4) ต่อ AP ออกไปพบ BC ที่จุด S

พิจารณา ∆ABS จะได้ว่า ∠ASB = 90°   ⇔   AS ⊥ BC

พิจารณา ∆ACR จะเห็นว่า ส่วนสูง (AS) แบ่งครึ่งมุมยอด (∠A)   ⇒   ∆ACR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   AC = AR

สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆APR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AR, ∠CAP = ∠PAR, AP = AP)   ⇒   ∠ACP = ∠ARP   ⇔   x = 10°   Q.E.D.

กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด B ผ่าน AD   ⇒   ∆ADP ≅ ∆ABD   ⇒   ...

   • ∠ADP = ∠ADB   ⇔   ∠ADP = 70°   ⇔   ∠CDP = 180°   ⇔   จุด C จุด D และจุด P อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

   • ∠APD = ∠ABD

   • AP = AB   ⇔   AP = AC   ⇔   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ACP = ∠APC   ⇔   ∠ACD = ∠ABD   ⇔   ☐ABCD สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠ABC + ∠ADC = 180°   ⇔   x + 110° = 180°   ⇔   x = 70°   Q.E.D.

(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQ = AC   ⇒   ∠CBQ = 60°

จะเห็นว่า ∆APQ ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AQ = AC, ∠PAQ = ∠CAP, AP = AP)   ⇒   ∠AQP = ∠ACP   ⇔   ∠AQP = 10°   ⇔   ∠AQP = ∠PAQ   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   AP = PQ

พิจารณา ☐ACPQ จะได้ว่า ∠CPQ (มุมใหญ่) = 360° - 40°   ⇔   ∠CPQ (มุมเล็ก) = 40°

(2) กำหนดจุด R เหนือ AQ ที่ทำให้ AR = QR = AQ (= AC)   ⇔   ∆AQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠QAR = 60° (⇔ ∠CAR = 40°), ∠AQR = 60° และ ∠ARQ = 60°

∵ AC = AR   ⇔   ∆ACR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 40°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARC (= ∠ACR) = 70°   ⇔   ∠CRQ = 10°

จะเห็นว่า ∆PQR ≅ ∆APR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (PQ = AP, QR = AR, PR = PR)   ⇒   ∠PRQ (= ∠ARP) = (∠ARQ)/2 = 30°

(3) กำหนดจุด S เป็นจุดตัดระหว่าง BC กับ QR

∵ ∠QBS = ∠BQS = 60°   ⇒   ∆BQS เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BQ = BS

∵ ∠PRS = ∠PCS   ⇔   ☐CRPS สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠CPS = ∠CRS   ⇔   ∠CPS = 10°   ⇔   ∠QPS = 30°

สังเกตว่า BQ = BS และ ∠QBS = 2(∠QPS)   ⇒   จุด B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆PQS แนบใน   ⇒   BP = BQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BPQ = ∠BQP   ⇔   ∠BPQ = 10°   ⇔   ∠ABP = x = 20°   Q.E.D.

ให้ ∠CBP = α และ ∠BCP = β

(1) ต่อ BP ออกไปพบ AC ที่จุด Q   ⇒   BQ ⊥ AC   ⇔   BQ เป็นส่วนสูงของ ∆ABC

พิจารณา ∆BCP จะได้ว่า ∠BPC = 135° และ α + β = 45°

(2) กำหนดจุด R บน AC ที่ทำให้ PR = CP   ⇔   ∆CPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CRP = ∠PCR   ⇔   ∠CRP = 45°   ⇔   ∠ARP = 135°

สังเกตว่า ∆APR ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ด (∠ARP = ∠BPC และเป็นมุมป้าน, PR = CP, AP = BC)   ⇒   ∠PAR = ∠CBP   ⇔   ∠PAR = α

(3) ต่อ AP ออกไปพบ BC ที่จุด S

พิจารณา ∆ACS จะได้ว่า ∠CAS + ∠ACS + ∠ASC = 180°   ⇔   α + (45° + β) + ∠ASC = 180°   ⇔   ∠ASC = 90°   ⇔   AS ⊥ BC   ⇔   AS เป็นส่วนสูงของ ∆ABC

(4) ต่อ CP ออกไปพบ AB ที่จุด T   ⇒   ∠BPT = 45°

∵ AS ตัดกับ BQ ที่จุด P   ⇒   จุด P เป็น orthocenter ของ ∆ABC   ⇒   CT เป็นส่วนสูงของ ∆ABC   ⇔   CT ⊥ AB

พิจารณา ∆BPT จะได้ว่า ∠PBT = x = 45°   Q.E.D.

(1) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน AB   ⇒   ∆ABP ≅ ∆ABC   ⇒   ...

     • BP = BC   ⇔   BP = a

     • ∠ABP = ∠ABC   ⇔   ∠ABP = 18°

     • ∠APB = ∠ACB   ⇔   ∠APB = 30°

(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด B ผ่าน AP   ⇒   ∆APQ ≅ ∆ABP   ⇒   ...

     • AQ = AB

     • PQ = BP   ⇔   PQ = a

     • ∠APQ = ∠APB   ⇔   ∠APQ = 30°

(3) ∵ BP = PQ (= a) และ ∠BPQ = 60°   ⇒   ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BQ = a

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠PBQ = 60°   ⇔   ∠CBQ = 24°

∵ BC = BQ   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 24°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BCQ = ∠BQC = 78°

∵ AB = AQ   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQB = ∠ABQ   ⇔   ∠AQB = 42°   ⇔   ∠AQC = 36°

พิจารณา ∆ACQ จะได้ว่า ∠CAQ = 36°   ⇔   ∠CAQ = ∠AQC   ⇔   ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   CQ = AC   ⇔   CQ = b

(4) สังเกตว่า ∆DEF ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (DE = BC, DF = BQ, EF = CQ)   ⇒   ∠EDF = ∠CBQ   ⇔   x = 24°   Q.E.D.