Fun Geometry Problem with Solution #40
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 18°
พิสูจน์ (โดยคุณ skytin)



(1)  AC = AD = CD   <=>   ACD เป็น ด้านเท่า   <=>   ∠CAD = ∠ACD = ∠ADC = 60°
∵ ADC = 60° และ ∠ADB = 6°   =>   BDC = 54°

(2) สร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า PQRST ขึ้นมา แล้วสร้าง ด้านเท่า PTX และ ด้านเท่า RSY โดยให้จุด X และจุด Y อยู่นอกรูปห้าเหลี่ยม
จะได้ว่า PX = TX = ST = SY, TSY = STX = 168° และ PXT = RYS = 60°
 SY = TX และ TSY = STX   =>   STXY เป็น คางหมูหน้าจั่ว ที่มี ST และ XY เป็นด้านคู่ขนาน   =>   ST // XY   <=>   TSY + SYX = 180°   <=>   TSY + 168° = 180°   <=>   TSY = 12°
 ST = SY   <=>   STY เป็น หน้าจั่ว ที่มี S (= 168°) เป็นมุมยอด   <=>   SYT (= STY) = 6°   <=>   TYX = 6°
สังเกตว่า PY เป็นเส้นสมมาตรของรูปหกเหลี่ยม PQRYST   =>   PYS = (RYS)/2 = 30°  <=>   PYX = 18°

(3) สร้าง ด้านเท่า XYZ ขึ้นมา โดยให้จุด S อยู่ภายในสามเหลี่ยม
จะได้ว่า XY = XZ และ YXZ = XYZ = XZY = 60°
XYZ = 60° และ TYX = 6°   =>   TYZ = 54°
YXZ = 60°   <=>   YXZ = PXT   <=>   TXY + TXZ = PXY + TXY   <=>   TXZ = PXY

(4) สังเกตว่า TXZ  PXY ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (TX = PX, TXZ = PXY, XZ = XY)   =>   TZX = PYX   <=>   TZX = 18°

(5) สร้างวงกลมล้อมรอบ TXZ แล้วต่อ YT ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด W   =>   TXWZ สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   TWX = TZX   <=>   TWX = 18°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า WZX = WTX   <=>   WZX = TXY + TYX = 18°

(6) สังเกตว่า... 
     • ACD ~ XYZ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ม (CAD = YXZ, ACD = XZY, ADC = XYZ)   =>   AC/XZ = AD/XY = CD/YZ = k (ค่าคงที่)
     • ABD ~ WXY ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ม (BAD = WXY, ABD = YWX, ADB = WYX)   =>   BD/WY = AD/XY   <=>   BD/WY = k
     • BCD ~ WYZ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD/WY = k, BDC = WYZ, CD/YZ = k)   =>   BCD = WZY   <=>   60° + x = 60° + 18°   <=>   x = 18°   Q.E.D.



Create Date : 20 สิงหาคม 2557
Last Update : 20 สิงหาคม 2557 0:48:01 น.
Counter : 770 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #39
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 18°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ABC จะได้ว่า ACB = 150°

(2) กำหนดจุด P เหนือ ABC ที่ทำให้ BP = CP = BC (= AD)   <=>   BCP เป็น ด้านเท่า   <=>   CBP = BCP = BPC = 60°
ACB + ACP + BCP = 360°   <=>   150° + ACP + 60° = 360°   <=>   ACP = 150°

(3) สังเกตว่า ACP  ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CP = BC, ACP = ACB, AC = AC)   =>   CAP = CAB   <=>   CAP = 18°   <=>   BAP = 36°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า APC = ABC   <=>   APC = 12°

(4) ต่อ AB ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQP = 36°   <=>   AQP = PAQ   <=>   APQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   <=>   AP = PQ
นอกจากนั้น ยังได้ว่า BPQ = 36°   <=>   BPQ = BQP   <=>   BPQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี B เป็นมุมยอด   <=>   BQ = BP   <=>   BQ = AD

(5) สังเกตว่า ADP  BPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = PQ, DAP = BQP, AD = BQ)   =>   APD = BPQ   <=>   APD = 36°   <=>   CPD = 24°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DP = BP   <=>   DP = CP   <=>   CDP เป็น หน้าจั่ว ที่มี P (= 24°) เป็นมุมยอด   <=>   DCP (= CDP) = 78°   <=>   x + 60° = 78°   <=>   x = 18°   Q.E.D.



Create Date : 17 สิงหาคม 2557
Last Update : 17 สิงหาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 645 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #38
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 18°
พิสูจน์



(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ APC = 3x   <=>   APC = CAP   <=>   ACP เป็น หน้าจั่ว ที่มี C เป็นมุมยอด   <=>   CP = AC
นอกจากนั้น ยังได้ว่า BCP = x   <=>   DCP = 3x   <=>   DCP = CPD   <=>   CDP เป็น หน้าจั่ว ที่มี D เป็นมุมยอด   <=>   DP = CD   <=>   DP = AB   <=>   BD + BP = AD + BD   <=>   BP = AD

(2) สังเกตว่า ACD  BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = CP, CAD = BPC, AD = BP)   =>   ACD = BCP   <=>   ACD = x   <=>   ACP = 4x

(3) พิจารณา ACP จะได้ว่า CAP + ACP + APC = 180°   <=>   3x + 4x + 3x = 180°   <=>   x = 18°   Q.E.D.



Create Date : 14 สิงหาคม 2557
Last Update : 14 สิงหาคม 2557 0:00:57 น.
Counter : 598 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #37
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 40°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ABC จะได้ว่า ACB = 80°
BAC = ABC   <=>   ABC เป็น หน้าจั่ว ที่มี C เป็นมุมยอด   <=>   AC = BC

(2) กำหนดให้จุด D' เป็นภาพสะท้อนของจุด D ผ่าน AC   =>   ACD  ACD' โดยที่ AD = AD', CAD = CAD' = 30°ACD = ACD'
∵ AD = AD' และ ∠DAD' = ∠CAD + ∠CAD' = 60°   <=>   ∆ADD' เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠A (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ADD' = ∠AD'D = 60°
∴ ∆ADD' เป็น ∆ด้านเท่า   =>   AD' = DD'

(3) สังเกตว่า AD' = DD' และ AD'D = 2(ABD)   =>   จุด D' เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ABD แนบใน   =>   AD' = BD'

(4) จะเห็นว่า ACD'  BCD' ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AC = BC, AD' = BD', CD' = CD')   =>   ACD' (= BCD') = (ACB)/2 = 40°   <=>   ACD = 40°

(5) พิจารณา BCD จะได้ว่า BDC = x = 40°   Q.E.D.



Create Date : 11 สิงหาคม 2557
Last Update : 11 สิงหาคม 2557 0:00:02 น.
Counter : 651 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #36
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 25°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ACD จะได้ว่า CAD = 25°

(2) สร้างวงกลมล้อมรอบ ACD แล้วต่อ DB ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด P   =>   ADCP สามารถแนบในวงกลมได้   =>   ...
     • ACP = ADP   <=>   ACP = 54°   <=>   BCP = 27°
     • CPD = CAD   <=>   CPD = 25°
     • APD = ACD   <=>   APD = 38°   <=>   APC = 63°
     • CAP = CDP   <=>   CAP = 63°   <=>   CAP = APC   <=>   ACP เป็น หน้าจั่ว ที่มี C เป็นมุมยอด   <=>   AC = CP 
จะเห็นว่า ABC  BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = CP, ACB = BCP, BC = BC)   =>   BAC = BPC   <=>   BAC = x = 25°   Q.E.D.



Create Date : 08 สิงหาคม 2557
Last Update : 8 สิงหาคม 2557 1:14:36 น.
Counter : 702 Pageviews.

0 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog