Fun Geometry Problem with Solution #40
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 18°
พิสูจน์ (โดยคุณ skytin)



(1) ∵ AC = AD = CD   <=>   ∆ACD เป็น ∆ด้านเท่า   <=>   ∠CAD = ∠ACD = ∠ADC = 60°
∵ ∠ADC = 60° และ ∠ADB = 6°   =>   ∠BDC = 54°

(2) สร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า PQRST ขึ้นมา แล้วสร้าง ∆ด้านเท่า PTX และ ∆ด้านเท่า RSY โดยให้จุด X และจุด Y อยู่นอกรูปห้าเหลี่ยม
จะได้ว่า PX = TX = ST = SY, ∠TSY = ∠STX = 168° และ ∠PXT = ∠RYS = 60°
∵ SY = TX และ ∠TSY = ∠STX   =>   ☐STXY เป็น ☐คางหมูหน้าจั่ว ที่มี ST และ XY เป็นด้านคู่ขนาน   =>   ST // XY   <=>   ∠TSY + ∠SYX = 180°   <=>   ∠TSY + 168° = 180°   <=>   ∠TSY = 12°
∵ ST = SY   <=>   ∆STY เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠S (= 168°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠SYT (= ∠STY) = 6°   <=>   ∠TYX = 6°
สังเกตว่า PY เป็นเส้นสมมาตรของรูปหกเหลี่ยม PQRYST   =>   ∠PYS = (∠RYS)/2 = 30°  <=>   ∠PYX = 18°

(3) สร้าง ∆ด้านเท่า XYZ ขึ้นมา โดยให้จุด S อยู่ภายในสามเหลี่ยม
จะได้ว่า XY = XZ และ ∠YXZ = ∠XYZ = ∠XZY = 60°
∵ ∠XYZ = 60° และ ∠TYX = 6°   =>   ∠TYZ = 54°
∵ ∠YXZ = 60°   <=>   ∠YXZ = ∠PXT   <=>   ∠TXY + ∠TXZ = ∠PXY + ∠TXY   <=>   ∠TXZ = ∠PXY

(4) สังเกตว่า ∆TXZ ≅ ∆PXY ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (TX = PX, ∠TXZ = ∠PXY, XZ = XY)   =>   ∠TZX = ∠PYX   <=>   ∠TZX = 18°

(5) สร้างวงกลมล้อมรอบ ∆TXZ แล้วต่อ YT ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด W   =>   ☐TXWZ สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠TWX = ∠TZX   <=>   ∠TWX = 18°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠WZX = ∠WTX   <=>   ∠WZX = ∠TXY + ∠TYX = 18°

(6) สังเกตว่า... 
     • ∆ACD ~ ∆XYZ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ม (∠CAD = ∠YXZ, ∠ACD = ∠XZY, ∠ADC = ∠XYZ)   =>   AC/XZ = AD/XY = CD/YZ = k (ค่าคงที่)
     • ∆ABD ~ ∆WXY ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ม (∠BAD = ∠WXY, ∠ABD = ∠YWX, ∠ADB = ∠WYX)   =>   BD/WY = AD/XY   <=>   BD/WY = k
     • ∆BCD ~ ∆WYZ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD/WY = k, ∠BDC = ∠WYZ, CD/YZ = k)   =>   ∠BCD = ∠WZY   <=>   60° + x = 60° + 18°   <=>   x = 18°   Q.E.D.



Create Date : 20 สิงหาคม 2557
Last Update : 20 สิงหาคม 2557 0:48:01 น.
Counter : 1108 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #39
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 18°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 150°

(2) กำหนดจุด P เหนือ ∆ABC ที่ทำให้ BP = CP = BC (= AD)   <=>   ∆BCP เป็น ∆ด้านเท่า   <=>   ∠CBP = ∠BCP = ∠BPC = 60°
∵ ∠ACB + ∠ACP + ∠BCP = 360°   <=>   150° + ∠ACP + 60° = 360°   <=>   ∠ACP = 150°

(3) สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CP = BC, ∠ACP = ∠ACB, AC = AC)   =>   ∠CAP = ∠CAB   <=>   ∠CAP = 18°   <=>   ∠BAP = 36°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠APC = ∠ABC   <=>   ∠APC = 12°

(4) ต่อ AB ออกไปยังจุด Q โดยที่ ∠AQP = 36°   <=>   ∠AQP = ∠PAQ   <=>   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   AP = PQ
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPQ = 36°   <=>   ∠BPQ = ∠BQP   <=>   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   BQ = BP   <=>   BQ = AD

(5) สังเกตว่า ∆ADP ≅ ∆BPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = PQ, ∠DAP = ∠BQP, AD = BQ)   =>   ∠APD = ∠BPQ   <=>   ∠APD = 36°   <=>   ∠CPD = 24°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DP = BP   <=>   DP = CP   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 24°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠DCP (= ∠CDP) = 78°   <=>   x + 60° = 78°   <=>   x = 18°   Q.E.D.



Create Date : 17 สิงหาคม 2557
Last Update : 17 สิงหาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 923 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #38
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 18°
พิสูจน์



(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠APC = 3x   <=>   ∠APC = ∠CAP   <=>   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   CP = AC
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BCP = x   <=>   ∠DCP = 3x   <=>   ∠DCP = ∠CPD   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   DP = CD   <=>   DP = AB   <=>   BD + BP = AD + BD   <=>   BP = AD

(2) สังเกตว่า ∆ACD ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = CP, ∠CAD = ∠BPC, AD = BP)   =>   ∠ACD = ∠BCP   <=>   ∠ACD = x   <=>   ∠ACP = 4x

(3) พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า ∠CAP + ∠ACP + ∠APC = 180°   <=>   3x + 4x + 3x = 180°   <=>   x = 18°   Q.E.D.



Create Date : 14 สิงหาคม 2557
Last Update : 14 สิงหาคม 2557 0:00:57 น.
Counter : 866 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #37
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 40°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 80°
∵ ∠BAC = ∠ABC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   AC = BC

(2) กำหนดให้จุด D' เป็นภาพสะท้อนของจุด D ผ่าน AC   =>   ∆ACD ≅ ∆ACD' โดยที่ AD = AD', ∠CAD = ∠CAD' = 30°, ∠ACD = ∠ACD'
∵ AD = AD' และ ∠DAD' = ∠CAD + ∠CAD' = 60°   <=>   ∆ADD' เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠A (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ADD' = ∠AD'D = 60°
∴ ∆ADD' เป็น ∆ด้านเท่า   =>   AD' = DD'

(3) สังเกตว่า AD' = DD' และ ∠AD'D = 2(∠ABD)   =>   จุด D' เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABD แนบใน   =>   AD' = BD'

(4) จะเห็นว่า ∆ACD' ≅ ∆BCD' ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AC = BC, AD' = BD', CD' = CD')   =>   ∠ACD' (= ∠BCD') = (∠ACB)/2 = 40°   <=>   ∠ACD = 40°

(5) พิจารณา ∆BCD จะได้ว่า ∠BDC = x = 40°   Q.E.D.



Create Date : 11 สิงหาคม 2557
Last Update : 11 สิงหาคม 2557 0:00:02 น.
Counter : 982 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #36
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 25°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆ACD จะได้ว่า ∠CAD = 25°

(2) สร้างวงกลมล้อมรอบ ∆ACD แล้วต่อ DB ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด P   =>   ☐ADCP สามารถแนบในวงกลมได้   =>   ...
     • ∠ACP = ∠ADP   <=>   ∠ACP = 54°   <=>   ∠BCP = 27°
     • ∠CPD = ∠CAD   <=>   ∠CPD = 25°
     • ∠APD = ∠ACD   <=>   ∠APD = 38°   <=>   ∠APC = 63°
     • ∠CAP = ∠CDP   <=>   ∠CAP = 63°   <=>   ∠CAP = ∠APC   <=>   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   AC = CP 
จะเห็นว่า ∆ABC ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = CP, ∠ACB = ∠BCP, BC = BC)   =>   ∠BAC = ∠BPC   <=>   ∠BAC = x = 25°   Q.E.D.



Create Date : 08 สิงหาคม 2557
Last Update : 8 สิงหาคม 2557 1:14:36 น.
Counter : 1063 Pageviews.
 
0 comment
Share
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  
TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog