Fun Geometry Problem with Solution #95
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) ∵ AC = AD      ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 100°) เป็นมุมยอด      ∠ACD = ∠ADC = 40°

(2) กำหนดจุด P เหนือ AB ที่ทำให้ ∠BAP = 40° ( ∠CAP = 60°) และ ∠ABP = 40°
จะเห็นว่า ∆ABP  ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BAP = ∠ACD, AB = CD, ∠ABP = ∠ADC)      AP = AC และ BP = AD
∴ AC = AP = BP

(3) ∵ AC = AP และ ∠CAP = 60°      ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า      AP = CP และ ∠APC = 60°
สังเกตว่า AP = BP = CP      จุด P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน      ∠ABC = (∠APC)/2      x = 30°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 31 มกราคม 2558
Last Update : 31 มกราคม 2558 0:00:00 น.
Counter : 587 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #94
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 2α
พิสูจน์ (โดยคุณ Juan Carlos Rodriguez Diaz)



(1) ∠CBD = 90° - α

(2) ต่อ BC ออกไปยังจุด Q โดยที่ BQ = AQ      ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด      ∠BAQ = ∠ABQ      ∠BAQ = 90° - α      ∠AQB = 2α
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CAQ = 30°

(3) ต่อ AP ออกไปยังจุด R โดยที่ AR = AQ
จะเห็นว่า ∆ACR  ∆ACQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AR = AQ, ∠CAR = ∠CAQ, AC = AC)      ∠ARC = ∠AQC      ∠ARC = 2α
∵ AQ = AR และ ∠QAR = 60°      ∆AQR เป็น ∆ด้านเท่า      ∠AQR = 60° ( ∠BQR = 60° - 2α) และ ∠ARQ = 60°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า QR = AQ      QR = BQ      ∆BQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 60° - 2α) เป็นมุมยอด      ∠BRQ (= ∠QBR) = 60° + α      ∠BRP = α      ∠BRP = ∠BCP      ☐BPCR สามารถแนบในวงกลมได้     ∠CBP = ∠CRP      x = 2α   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 28 มกราคม 2558
Last Update : 28 มกราคม 2558 0:00:00 น.
Counter : 550 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #93
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 12°
พิสูจน์



(1) ∠BDC = 150°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆BCD แนบใน      ...
     • BO = CO = DO
     • ∠BOC (มุมใหญ่) = 2(∠BDC)      ∠BOC (มุมใหญ่) = 300°      ∠BOC (มุมเล็ก) = 60°
     • ∠COD = 2(∠CBD)      ∠COD = 2x
∵ BO = CO และ ∠BOC = 60°      ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า      BC = BO = CO
∴ AD = CO = DO

(3) ให้ AD = a และ CD = b
สังเกตว่า ∆CDO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มีฐานยาว b และด้านประกอบมุมยอดยาว a      ∠COD = 24° (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)    2x = 24°      x = 12°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 25 มกราคม 2558
Last Update : 25 มกราคม 2558 12:10:11 น.
Counter : 612 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #92
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า cos20° = cos40° + cos80° และ 4cos320° - 3cos20° = cos60°
พิสูจน์



โดยไม่สูญเสียสาระสำคัญของกรณีทั่วไป เราสามารถสมมติให้ AB = 1

(1) ∵ AC = BC      ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 20°) เป็นมุมยอด      ∠BAC = ∠ABC = 80°

(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ BP = 1      BP = AB      ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด      ∠APB = ∠BAP      ∠APB = 80°      ∠ABP = 20°      ∠CBP = 60° และ ∠BPC = 100°

(3) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ PQ = 1      PQ = BP
∵ BP = PQ และ ∠PBQ = 60°      ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า      BQ = 1
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPQ = 60°      ∠CPQ = 40° และ ∠CQP = 120°

(4) กำหนดจุด R บน CP ที่ทำให้ QR = 1      QR = PQ      ∆PQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด      ∠PRQ = ∠QPR      ∠PRQ = 40°      ∠PQR = 100°      ∠CQR = 20°      ∠CQR = ∠QCR      ∆CQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด      CR = QR      CR = 1

(5) กำหนดจุด S บน AC ที่ทำให้ BS = CS      ∆BCS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠S เป็นมุมยอด      ∠CBS = ∠BCS      ∠CBS = 20°      ∠PBS = ∠BSP = 40°      ∆BPS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 100°) เป็นมุมยอด      PS = BP      PS = 1

พิจารณา ∆CQR ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว เมื่อลากส่วนสูง RT จะได้ว่า ∆CRT และ ∆QRT เป็น ∆มุมฉาก ที่เท่ากันทุกประการ
โดยนิยามของ cosine ใน ∆มุมฉาก จะได้ CT = QT = cos20°      CQ = 2cos20°
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ ∆PQR และ ∆ABP จะได้ PR = 2cos40° และ AP = 2cos80° ตามลำดับ
ในทางกลับกัน สำหรับ ∆ABC และ ∆BCS จะได้ AC = 1/(2cos80°) และ CS = 1 + 1/(2cos20°) ตามลำดับ

∵ AC = BC      AP + PR + CR = BC      2cos80° + 2cos40° + 1 = 1 + 2cos20°      cos20° = cos40° + cos80°   Q.E.D.
นอกจากนั้น ยังได้ว่า 1/(2cos80°) = 1 + 2cos20°      2cos80° = 1/(1 + 2cos20°)      AP = 1/(1 + 2cos20°)      AC - CS - PS = 1/(1 + 2cos20°)      BC - CS - PS = 1/(1 + 2cos20°)      (1 + 2cos20°) - [1 + 1/(2cos20°)] - 1 = 1/(1 + 2cos20°)      4cos320° - 3cos20° = 1/2      4cos320° - 3cos20° = cos60°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 22 มกราคม 2558
Last Update : 22 มกราคม 2558 0:00:00 น.
Counter : 629 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #91
โจทย์



กำหนดให้ ☐ABCD เป็น ☐จัตุรัส
จงพิสูจน์ว่า ∆CDP เป็น ∆ด้านเท่า
พิสูจน์



(1) ∵ ☐ABCD เป็น ☐จัตุรัส      AB = AD = BC = CD และ ∠BAD = ∠ABC = 90° ( ∠DAP = ∠CBP = 75°)
∵ ∠BAP = ∠ABP      ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด      AP = BP
สังเกตว่า ∆ADP  ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BC, ∠DAP = ∠CBP, AP = BP)      DP = CP

(2) กำหนดจุด Q ภายใน ☐ABCD ที่ทำให้ ∠DAQ = 15° ( ∠PAQ = 60°) และ ∠ADQ = 15°
จะเห็นว่า ∆ADQ  ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DAQ = ∠BAP, AD = AB, ∠ADQ = ∠ABP)      AQ = AP และ DQ = BP
∴ AP = AQ = DQ

(3) ∵ AP = AQ และ ∠PAQ = 60°      ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า      AQ = PQ และ ∠AQP = 60°
สังเกตว่า AQ = DQ = PQ      จุด Q เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ADP แนบใน      ∠ADP = (∠AQP)/2      ∠ADP = 30°      ∠APD = 75°      ∠APD = ∠DAP      ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด      DP = AD      DP = CD
∴ CD = CP = DP      ∆CDP เป็น ∆ด้านเท่า   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 19 มกราคม 2558
Last Update : 19 มกราคม 2558 0:00:00 น.
Counter : 583 Pageviews.

0 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog