โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 40
พิสูจน์
(1) ∵ AC = BC <=> ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด <=> ∠ABC = ∠BAC <=> ∠ABC = 70° <=> ∠ACB = 40° <=> ∠ACP = 10°
(2) กำหนดจุด Q นอก ∆ABC ที่ทำให้ AQ = AC และ ∠PAQ = 20° (<=> ∠BAQ = 30°)
สังเกตว่า ∆ACQ ≅ ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AC, ∠CAQ = ∠ACB, AQ = BC) => CQ = AB
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ACQ = ∠BAC <=> ∠ACQ = 70° <=> ∠PCQ = 60° <=> ∠BCQ = 30°
สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AQ, ∠CAP = ∠PAQ, AP = AP) => CP = PQ <=> ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด <=> ∠CQP = ∠PCQ <=> ∠CQP = 60° <=> ∠CPQ = 60°
∴ ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า => CP = CQ <=> CP = AB
สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆ABQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = AQ, ∠BCP = ∠BAQ, CP = AB) => ∠CBP = ∠AQB <=> x° = ∠AQB
(3) ∵ ∠BAQ = ∠BCQ <=> ☐ABQC สามารถแนบในวงกลมได้ <=> ∠ACQ + ∠ABQ = 180° <=> 70° + ∠ABQ = 180° <=> ∠ABQ = 110° <=> ∠AQB = 40° <=> x = 40 Q.E.D