Fun Geometry Problem with Solution #10
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 22.5°
พิสูจน์



(1) ∠CBD = 90° - 2x, ∠BDC = 3x 

(2) กำหนดจุด P นอก ∆ABC ที่ทำให้ ∠DBP = 2x และ ∠BDP = x
จะเห็นว่า ∆BDP ≅ ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DBP = ∠CAD, BD = AC, ∠BDP = ∠ACD)   =>   DP = CD   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 4x) เป็นมุมยอด   <=>   ∠DCP = ∠CPD = 90° - 2x

(3) สังเกตว่า ∠CPD = ∠CBD   <=>   ☐BCDP สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠DCP = ∠DBP   <=>   90° - 2x = 2x   <=>   x = 22.5°   Q.E.D.



Create Date : 23 พฤษภาคม 2557
Last Update : 5 กันยายน 2557 2:05:22 น.
Counter : 840 Pageviews.

1 comment
Fun Geometry Problem with Solution #9
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = α
พิสูจน์



(1) ∠BDC = ∠ACD + 2α

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ ∠CAP = α   <=>   ∠DAP = α
∵ ∠DAP = α   <=>   ∠DAP = ∠DCP   <=>   ☐ACPD สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠CDP = ∠CAP   <=>   ∠CDP = α   <=>   ∠CDP = ∠DCP   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   CP = DP
∵ ∠CDP = α   <=>   ∠BDP = ∠ACD + α

(3) จะเห็นว่า ∆BDP  ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = AC, ∠BDP = ∠ACP, DP = CP)   =>   ∠DBP = ∠CAP   <=>   x = α   Q.E.D.



Create Date : 19 พฤษภาคม 2557
Last Update : 13 ตุลาคม 2557 0:39:33 น.
Counter : 713 Pageviews.

1 comment
Fun Geometry Problem with Solution #8
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 15°
พิสูจน์



(1) กำหนดจุด P ใต้ BC ที่ทำให้ BC = BP = CP   <=>   BCP เป็น ด้านเท่า   <=>   CBP = BCP = BPC = 60°
BCP = 60°   <=>   DCP = 30°   <=>   ACP = 75°

(2) สังเกตว่า CDP  BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CP = BC, DCP = BCD, CD = CD)   =>   DP = BD

(3) สังเกตว่า AD = BD = DP   <=>   จุด D เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ABP แนบใน
 AB = AD + BD = 2r   <=>   AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้   <=>   APB = 90°   <=>   APC = 30°

(4) พิจารณา ACP จะได้ว่า CAP = 75°   <=>   CAP = ACP   <=>   ACP เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   <=>   AP = CP

(5) สังเกตว่า AP = BP = CP   <=>   จุด P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ABC แนบใน   =>   ABC = (APC)/2   <=>   x = 15°   Q.E.D.



Create Date : 16 พฤษภาคม 2557
Last Update : 2 กันยายน 2557 0:23:44 น.
Counter : 829 Pageviews.

1 comment
Fun Geometry Problem with Solution #7
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์ 1



ให้ AD = a และ AC = BD = b   =>   AB = a + b

(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 80°   <=>   ∠ACB = ∠BAC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   BC = AB   <=>   BC = a + b

(2) ต่อ BA ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠BPC = 20°   <=>   ∠BPC = ∠CBP   <=>   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   CP = BC   <=>   CP = a + b
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BCP = 140°   <=>   ∠ACP = 60°

(3) ต่อ CA ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQ = a   <=>   CQ = a + b   <=>   CQ = CP   <=>   ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠CPQ = ∠CQP
∵ ∠PCQ = 60°   <=>   ∠CPQ = ∠CQP = 60°
∴ ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   PQ = CP   <=>   PQ = a + b
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CPQ = 60°   <=>   ∠DPQ = 40°

(4) พิจารณา ∆ADQ จะเห็นว่า AD = AQ   <=>   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   <=>   ∠ADQ = ∠AQD
∵ ∠CAD = 80°   <=>   ∠DAQ = 100°   <=>   ∠PDQ (= ∠CQD) = 40°   <=>   ∠PDQ = ∠DPQ   <=>   ∆DPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   DQ = PQ   <=>   DQ = a + b   <=>   DQ = CQ   <=>   ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   ∠PDQ = ∠DPQ
∵ ∠CQD = 40°   <=>   ∠DCQ (= ∠CDQ) = 70°   <=>   x = 10°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2



(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 80°   <=>   ∠ACB = ∠BAC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   <=>   BC = AB

(2) กำหนดจุด P ภายใน ∆ABC ที่ทำให้ AC = AP = CP   <=>   ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠CAP = ∠ACP = ∠APC = 60°
∵ AC = AP   <=>   BD = AP
∵ ∠CAP = 60°   <=>   ∠BAP = 20°   <=>   ∠BAP = ∠CBD

(3) สังเกตว่า ∆ABP  ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AP = CP, AB = BC, BP = BP)   =>   ∠ABP = ∠CBP = (∠ABC)/2 = 10°
สังเกตว่า ∆BCD  ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = AP, ∠CBD = ∠BAP, BC = AB)   =>   ∠BCD = ∠ABP   <=>   x = 10°   Q.E.D.



Create Date : 13 พฤษภาคม 2557
Last Update : 16 มิถุนายน 2557 23:25:58 น.
Counter : 871 Pageviews.

3 comment
Fun Geometry Problem with Solution #6
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 40
พิสูจน์



(1) ∵ AC = BC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠ABC = ∠BAC   <=>   ∠ABC = 70°   <=>   ∠ACB = 40°   <=>   ∠ACP = 10°

(2) กำหนดจุด Q นอก ∆ABC ที่ทำให้ AQ = AC และ ∠PAQ = 20° (<=> ∠BAQ = 30°)
สังเกตว่า ∆ACQ ≅ ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AC, ∠CAQ = ∠ACB, AQ = BC)   =>   CQ = AB
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ACQ = ∠BAC   <=>   ∠ACQ = 70°   <=>   ∠PCQ = 60°   <=>   ∠BCQ = 30°
สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AQ, ∠CAP = ∠PAQ, AP = AP)   =>   CP = PQ   <=>   ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠CQP = ∠PCQ   <=>   ∠CQP = 60°   <=>   ∠CPQ = 60°
∴ ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   CP = CQ   <=>   CP = AB
สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆ABQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = AQ, ∠BCP = ∠BAQ, CP = AB)   =>   ∠CBP = ∠AQB   <=>   x° = ∠AQB 

(3) ∵ ∠BAQ = ∠BCQ   <=>   ☐ABQC สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠ACQ + ∠ABQ = 180°   <=>   70° + ∠ABQ = 180°   <=>   ∠ABQ = 110°   <=>   ∠AQB = 40°   <=>   x = 40   Q.E.D



Create Date : 10 พฤษภาคม 2557
Last Update : 14 มิถุนายน 2557 22:18:54 น.
Counter : 877 Pageviews.

2 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog