Fun Geometry Problem with Solution #85
H A P N E Y E A 1 5

โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 20°
พิสูจน์ 1



(1) ∠ABC = 30° และ ∠ADC = 110°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน      AO = CO = DO
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AOD = 2(∠ACD)      ∠AOD = 60°
∵ AO = DO และ ∠AOD = 60°      ∆ADO เป็น ∆ด้านเท่า      AD = AO = DO      AD = CO 
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠DAO = 60°      ∠DAO = ∠BAD      จุด O อยู่บน AB
∵ AO = CO      ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด      ∠ACO = ∠CAO      ∠ACO = 20°      ∠BCO = 110°

(3) สังเกตว่า ∆BCO  ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠CBO = ∠ACD, ∠BCO = ∠ADC, CO = AD)      BC = CD      ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 160°) เป็นมุมยอด      ∠CBD (= ∠BDC) = 10°      ∠ABD = x = 20°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2



(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ABC = 30°

(2) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ CP ⊥ AB
พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า ∠ACP = 70°
จะเห็นว่า ∆BCP เป็น ∆มุมฉาก ที่มี ∠P เป็นมุมฉาก และ ∠B = 30°      BC = 2‧CP

(3) ต่อ AD ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQ = AC      ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 40°) เป็นมุมยอด      ∠ACQ = ∠AQC = 70°
พิจารณา ∆ACD จะได้ว่า ∠CDQ = 70°      ∠CDQ = ∠CQD      ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      CD = CQ

(4) กำหนดจุด R บน CQ ที่ทำให้ AR ⊥ CQ      AR เป็นส่วนสูงของ ∆ACQ      CR = QR
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∆ACR  ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠ARC = ∠APC, ∠ACR = ∠ACP, AC = AC)      CR = CP      QR = CP
∴ CQ = 2‧CP   ⇔   CD = BC      ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 160°) เป็นมุมยอด      ∠CBD (= ∠BDC) = 10°      ∠ABD = x = 20°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 01 มกราคม 2558
Last Update : 1 มกราคม 2558 0:00:01 น.
Counter : 913 Pageviews.

1 comment
Fun Geometry Problem with Solution #84
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์



(1) ∵ AB = AC = BC      ∆ABC เป็น ∆ด้านเท่า      ∠BAC = 60° และ ∠ABC = 60°      ∠CAP = 60° - 3x และ ∠ABP = 60° - x      ∠APC = 120° - 2x และ ∠APB = 120° - 2x
∵ 0° < ∠ACP < 60°      0° < 5x < 60°      0° < x < 12°      96° < 120° - 2x < 120°
∴ ∠APC = ∠APB และเป็นมุมป้าน

(2) กำหนดจุด Q ใต้ AB ที่ทำให้ AQ = AP และ ∠BAQ = 60° - 3x
จะเห็นว่า ∆ABQ  ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AB = AC, ∠BAQ = ∠CAP, AQ = AP)      BQ = CP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AQB = ∠APC   ⇔   ∠AQB = ∠APB (มุมป้าน)
∵ AP = AQ      ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด      ∠APQ = ∠AQP      ∠BPQ = ∠BQP      ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด      BP = BQ
สังเกตว่า ∆ABP  ∆ABQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AB = AB, AP = AQ, BP = BQ)      ∠BAP = ∠BAQ      3x = 60° - 3x      x = 10°   Q.E.D.

หมายเหตุ จาก (1) สามารถสรุปได้ว่า ∆ABP  ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ด (∠APB = ∠APC และเป็นมุมป้าน, AP = AP, AB = AC)      ∠BAP = ∠CAP      3x = 60° - 3x      x = 10°

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 30 ธันวาคม 2557
Last Update : 3 มกราคม 2558 23:34:00 น.
Counter : 1066 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #83
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 80°
พิสูจน์



(1) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ ∠BPC = 40°      ∠BPC = ∠CBP      ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      CP = BC      CP = AD
พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า ∠ACP = 10°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACP แนบใน      ...
     • AO = CO = OP
     • ∠AOP = 2(∠ACP)      ∠AOP = 20°
     • ∠COP = 2(∠CAP)      ∠COP = 60°
∵ AO = OP      ∆AOP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 20°) เป็นมุมยอด      ∠OAP (= ∠APO) = 80°
∵ CO = OP และ ∠COP = 60°      ∆COP เป็น ∆ด้านเท่า      OP = CP      AO = AD      ∆ADO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 80°) เป็นมุมยอด      ∠AOD (= ∠ADO) = 50°      ∠DOP = 30°      ∠COD = 30°

(3) สังเกตว่า ∆CDO  ∆DOP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CO = OP, ∠COD = ∠DOP, DO = DO)      CD = DP      ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด      ∠DCP = ∠CPD      ∠DCP = 40°      ∠BDC = x = 80°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 27 ธันวาคม 2557
Last Update : 27 ธันวาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 916 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #82
โจทย์



กำหนดให้ [ABCDEFGHI] เป็นรูปเก้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า
จงพิสูจน์ว่า a + b = c
พิสูจน์



(1) ∵ [ABCDEFGHI] เป็นรูปเก้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า      AB = BC = CD = DE = a
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ABC = ∠BCD = ∠CDE = [(9 - 2) × 180°] ÷ 9 = 140°
จะเห็นว่า ∆CDE  ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CD = AB, ∠CDE = ∠ABC, DE = BC)      CE = AC      CE = b
∵ AB = BC      ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 140°) เป็นมุมยอด      ∠BAC = ∠ACB = 20°
∵ CD = DE      ∆CDE เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 140°) เป็นมุมยอด      ∠DCE (= ∠CED) = 20°      ∠ACE = 100°
∵ AC = CE      ∆ACE เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 100°) เป็นมุมยอด      ∠CAE = ∠AEC = 40°

(2) ต่อ EC ออกไปยังจุด P ที่ทำให้ CP = a      ∠BCP = 60°
∵ BC = CP และ ∠BCP = 60°      ∆BCP เป็น ∆ด้านเท่า      BP = BC และ ∠CBP = 60°
สังเกตว่า AB = BC = BP      จุด B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACP แนบใน      ∠CAP = (∠CBP)/2      ∠CAP = 30°
พิจารณา ∆AEP จะได้ว่า ∠APE = 70°      ∠APE = ∠EAP      ∆AEP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠E เป็นมุมยอด      EP = AE      a + b = c   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 24 ธันวาคม 2557
Last Update : 24 ธันวาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 1121 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #81
โจทย์



กำหนดให้ ∆ABC และ ∆BDE เป็น ∆ด้านเท่า
จงพิสูจน์ว่า x = α
พิสูจน์



(1) ให้ AE = a และ BE = b
∵ ∆ABC เป็น ∆ด้านเท่า      AC = a + b, ∠BAC = 60° และ ∠ACB = 60° ( ∠ACE = 60° - x)
∵ ∆BDE เป็น ∆ด้านเท่า      DE = b และ ∠BED = 60° ( ∠ADE = 60° - α และ ∠AED = 120°)

(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ AP = a      CP = b
∵ AE = AP และ ∠EAP = 60°      ∆AEP เป็น ∆ด้านเท่า      EP = a และ ∠APE = 60° ( ∠CPE = 120°)

(3) สังเกตว่า ∆CEP  ∆ADE ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (EP = AE, ∠CPE = ∠AED, CP = DE)      ∠ECP = ∠ADE      60° - x = 60° - α      x = α   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 21 ธันวาคม 2557
Last Update : 21 ธันวาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 835 Pageviews.

0 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog