จงพิสูจน์ว่า x = 50°

(1) พิจารณา ∆ABC จะเห็นว่า ∠A = 2(∠B) และ D เป็นจุดบน AB ที่ทำให้ BD = AC   =>   AC = CD (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)   <=>   ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠ADC = ∠CAD   <=>   ∠ADC = 40°   <=>   ∠ACD = 100°

(2) กำหนดจุด P ใต้ AB ที่ทำให้ AC = AP = CP   <=>   ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠ACP = 60° และ ∠CAP = 60°   <=>   ∠DCP = 40° และ ∠DAP = 20°

∵ AP = AC   <=>   AP = BD

∵ CP = AC   <=>   CP = CD   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 40°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠CDP (= ∠CPD) = 70°   <=>   ∠ADP = 30°

(3) สังเกตว่า ∆BDE ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BE = AD, ∠DBE = ∠DAP, BD = AP)   =>   ∠BED = ∠ADP   <=>   ∠BED = 30°   <=>   ∠ADE = x = 50°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

(1) ∵ BC = CD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠CBD = ∠BDC

(2) กำหนดจุด P ที่ทำให้ ☐ABDP เป็น ☐มุมฉาก   =>   ...

     • DP = AB

     • AP = BD   <=>   AP = AC

     • ∠BAP = 90°

     • ∠BDP = 90°   <=>   ∠BDP = ∠ABD   <=>   ∠BDP + ∠BDC = ∠ABD + ∠CBD   <=>   ∠CDP = ∠ABC

(3) สังเกตว่า ∆CDP ≅ ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CD = BC, ∠CDP = ∠ABC, DP = AB)   =>   CP = AC

∴ AC = AP = CP   <=>   ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠CAP = 60°   <=>   ∠BAC = x = 30°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 15°

พิจารณา ∆ACD จะได้ว่า ∠ACD = 135° - 2x

พิจารณา ∆BCD จะได้ว่า ∠BDC = 135°   <=>   ∠BCD = 45° - x   =>   x < 45° (✱)   <=>   2x < 90°

∴ ∠BAC และ ∠ABC เป็นมุมแหลม

กำหนดให้จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   <=>   AO = BO = CO

กรณีที่ 1: ∠ACB เป็นมุมแหลม   =>   จุด O เป็นจุดภายใน ∆ABC โดยอยู่ใน ∆BCD (ดูรูปที่ 1)

∵ จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ∠AOC = 2(∠ABC) = 2x

∵ AO = CO   <=>   ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 2x) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ACO (= ∠CAO) = 90° - x   <=>   ∠DCO = x - 45°   =>   x > 45° ซึ่งขัดแย้งกับ (✱)

∴ ∠ACB ไม่เป็นมุมแหลม

กรณีที่ 2: ∠ACB เป็นมุมฉาก   =>   จุด O กับจุด D เป็นจุดเดียวกัน   =>   AD = BD = CD

พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°   <=>   2x + x + 90° = 180°   <=>   x = 30°   =>   ∠ABC = 30° และ ∠BCD = 15°

∵ BD = CD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   ∠CBD = ∠BCD   =>   30° = 15° ซึ่งเป็นไปไม่ได้

∴ ∠ACB ไม่เป็นมุมฉาก

กรณีที่ 3: ∠ACB เป็นมุมป้าน   =>   จุด O เป็นจุดภายนอก ∆ABC (ดูรูปที่ 2)

∵ จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ∠AOC = 2(∠ABC) = 2x และ ∠BOC = 2(∠BAC) = 4x

∵ AO = CO   <=>   ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 2x) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ACO (= ∠CAO) = 90° - x   <=>   ∠DCO = 45° - x

∵ AO = BO   <=>   ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด

∵ AD = BD   <=>   DO เป็นส่วนสูงของ ∆ABO   <=>   ∠ADO = 90°   <=>   ∠CDO = 135°

สังเกตว่า ∆BCD ≅ ∆CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BCD = ∠DCO, CD = CD, ∠BDC = ∠CDO)   =>   BC = CO

∴ BC = BO = CO   <=>   ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠BOC = 60°   <=>   4x = 60°   <=>   x = 15°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

(1) ∵ AD = CD   ⇔   ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 4α) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ACD (= ∠CAD) = 90° - 2α   ⇔   ∠CBD = 60° - α

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ DP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ADC   ⇔   ∠ADP = (∠ADC)/2 = 2α   ⇔   ∠ADP = 2(∠ADB)   ⇔   BD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ADP

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CDP = 2α   ⇔   ∠CPD = 60°

สังเกตว่า ∆ADP ≅ ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = CD, ∠ADP = ∠CDP, DP = DP)   ⇒   ∠APD = ∠CPD   ⇔   ∠APD = 60°   ⇔   ∠DAP = 120° - 2α

(3) กำหนดจุด Q บน BD ที่ทำให้ PQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠APD   ⇔   ∠APQ = (∠APD)/2 = 30°

พิจารณา ∆ADP จะเห็นว่า มีจุด Q เป็นจุดภายในที่ทำให้ DQ และ PQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ADP และ ∠APD ตามลำดับ   ⇒   จุด Q เป็น incenter ของ ∆ADP   ⇒   AQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠DAP   ⇒   ∠PAQ = (∠DAP)/2 = 60° - α   ⇔   ∠PAQ = ∠PBQ   ⇔   ☐ABPQ สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠ABQ = ∠APQ   ⇔   x = 30°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

(1) ต่อ BA ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠BPC = 20°   <=>   ∠BPC = ∠CBP   <=>   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   CP = BC   <=>   CP = AD

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ACP = 20°   <=>   ∠ACP = ∠APC   <=>   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   <=>   AC = AP

(2) กำหนดจุด Q ใต้ AD ที่ทำให้ ∠DAQ = 20° และ ∠ADQ = 20°   =>   ∠AQD = 140°

จะเห็นว่า ∆ADQ ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DAQ = ∠ACP, AD = CP, ∠ADQ = ∠APC)   =>   AQ = AC และ DQ = AP   =>   AC = AQ = DQ

(3) ∵ AC = AQ   <=>   ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ACQ = 60° และ ∠AQC = 60° (<=> ∠CQD = 80°)

∴ ∆ACQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   CQ = AQ   <=>   CQ = DQ   <=>   ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 80°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠CDQ (= ∠DCQ) = 50°   <=>   ∠ADC = x = 30°   Q.E.D.