Fun Geometry Problem with Solution #55
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 50°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ABC จะเห็นว่า A = 2(B) และ D เป็นจุดบน AB ที่ทำให้ BD = AC   =>   AC = CD (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)   <=>   ACD เป็น หน้าจั่ว ที่มี C เป็นมุมยอด   <=>   ADC = CAD   <=>   ADC = 40°   <=>   ACD = 100°

(2) กำหนดจุด P ใต้ AB ที่ทำให้ AC = AP = CP   <=>   ACP เป็น ด้านเท่า   =>   ACP = 60° และ CAP = 60°   <=>   DCP = 40° และ DAP = 20°
 AP = AC   <=>   AP = BD
 CP = AC   <=>   CP = CD   <=>   CDP เป็น หน้าจั่ว ที่มี C (= 40°) เป็นมุมยอด   <=>   CDP (= CPD) = 70°   <=>   ADP = 30°

(3) สังเกตว่า BDE  ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BE = AD, DBE = DAP, BD = AP)   =>   BED = ADP   <=>   BED = 30°   <=>   ADE = x = 50°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 04 ตุลาคม 2557
Last Update : 4 ตุลาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 675 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #54
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1)  BC = CD   <=>   BCD เป็น หน้าจั่ว ที่มี C เป็นมุมยอด   <=>   CBD = BDC

(2) กำหนดจุด P ที่ทำให้ ABDP เป็น มุมฉาก   =>   ...
     • DP = AB
     • AP = BD   <=>   AP = AC
     • BAP = 90°
     • BDP = 90°   <=>   BDP = ABD   <=>   BDP + BDC = ABD + CBD   <=>   CDP = ABC

(3) สังเกตว่า CDP  ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CD = BC, CDP = ABC, DP = AB)   =>   CP = AC
 AC = AP = CP   <=>   ACP เป็น ด้านเท่า   =>   CAP = 60°   <=>   BAC = x = 30°   Q.E.D.



Create Date : 01 ตุลาคม 2557
Last Update : 1 ตุลาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 634 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #53
โจทย์













จงพิสูจน์ว่า x = 15°
พิสูจน์





พิจารณา ACD จะได้ว่า ACD = 135° - 2x

พิจารณา BCD จะได้ว่า BDC = 135°   <=>   BCD = 45° - x   =>   x < 45° (✱)   <=>   2x < 90°
BAC และ ABC เป็นมุมแหลม

กำหนดให้จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ABC แนบใน   <=>   AO = BO = CO

กรณีที่ 1: ACB เป็นมุมแหลม   =>   จุด O เป็นจุดภายใน ABC โดยอยู่ใน BCD (ดูรูปที่ 1)
 จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ABC แนบใน   =>   AOC = 2(ABC) = 2x
 AO = CO   <=>   ACO เป็น หน้าจั่ว ที่มี O (= 2x) เป็นมุมยอด   <=>   ACO (= CAO) = 90° - x   <=>   DCO = x - 45°   =>   x > 45° ซึ่งขัดแย้งกับ (✱)
ACB ไม่เป็นมุมแหลม

กรณีที่ 2: ACB เป็นมุมฉาก   =>   จุด O กับจุด D เป็นจุดเดียวกัน   =>   AD = BD = CD
พิจารณา ABC จะได้ว่า BAC + ABC + ACB = 180°   <=>   2x + x + 90° = 180°   <=>   x = 30°   =>   ABC = 30° และ BCD = 15°
 BD = CD   <=>   BCD เป็น หน้าจั่ว ที่มี D เป็นมุมยอด   <=>   CBD = BCD   =>   30° = 15° ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ACB ไม่เป็นมุมฉาก

กรณีที่ 3: ACB เป็นมุมป้าน   =>   จุด O เป็นจุดภายนอก ABC (ดูรูปที่ 2)
 จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ABC แนบใน   =>   AOC = 2(ABC) = 2x และ BOC = 2(BAC) = 4x
 AO = CO   <=>   ACO เป็น หน้าจั่ว ที่มี O (= 2x) เป็นมุมยอด   <=>   ACO (= CAO) = 90° - x   <=>   DCO = 45° - x
 AO = BO   <=>   ABO เป็น หน้าจั่ว ที่มี O เป็นมุมยอด
 AD = BD   <=>   DO เป็นส่วนสูงของ ABO   <=>   ADO = 90°   <=>   CDO = 135°
สังเกตว่า BCD  CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (BCD = DCO, CD = CD, BDC = CDO)   =>   BC = CO
 BC = BO = CO   <=>   BCO เป็น ด้านเท่า   =>   BOC = 60°   <=>   4x = 60°   <=>   x = 15°   Q.E.D.



Create Date : 28 กันยายน 2557
Last Update : 28 กันยายน 2557 0:00:01 น.
Counter : 626 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #52
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) ∵ AD = CD      ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 4α) เป็นมุมยอด      ∠ACD (= ∠CAD) = 90° - 2α      ∠CBD = 60° - α

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ DP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ADC      ∠ADP = (∠ADC)/2 = 2α      ∠ADP = 2(∠ADB)      BD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ADP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CDP = 2α      ∠CPD = 60°
สังเกตว่า ∆ADP  ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = CD, ∠ADP = ∠CDP, DP = DP)      ∠APD = ∠CPD      ∠APD = 60°      ∠DAP = 120° - 2α

(3) กำหนดจุด Q บน BD ที่ทำให้ PQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠APD      ∠APQ = (∠APD)/2 = 30°
พิจารณา ∆ADP จะเห็นว่า มีจุด Q เป็นจุดภายในที่ทำให้ DQ และ PQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ADP และ ∠APD ตามลำดับ      จุด Q เป็น incenter ของ ∆ADP      AQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠DAP      ∠PAQ = (∠DAP)/2 = 60° - α      ∠PAQ = ∠PBQ      ☐ABPQ สามารถแนบในวงกลมได้      ∠ABQ = ∠APQ      x = 30°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 25 กันยายน 2557
Last Update : 3 กรกฎาคม 2558 23:53:00 น.
Counter : 643 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #51
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) ต่อ BA ออกไปยังจุด P โดยที่ BPC = 20°   <=>   BPC = CBP   <=>   BCP เป็น หน้าจั่ว ที่มี C เป็นมุมยอด   <=>   CP = BC   <=>   CP = AD
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ACP = 20°   <=>   ACP = APC   <=>   ACP เป็น หน้าจั่ว ที่มี A เป็นมุมยอด   <=>   AC = AP

(2) กำหนดจุด Q ใต้ AD ที่ทำให้ DAQ = 20° และ ADQ = 20°   =>   AQD = 140°
จะเห็นว่า ADQ  ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (DAQ = ACP, AD = CP, ADQ = APC)   =>   AQ = AC และ DQ = AP   =>   AC = AQ = DQ

(3)  AC = AQ   <=>   ACQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี A (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   ACQ = 60° และ AQC = 60° (<=> CQD = 80°)
ACQ เป็น ด้านเท่า   =>   CQ = AQ   <=>   CQ = DQ   <=>   CDQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี Q (= 80°) เป็นมุมยอด   <=>   CDQ (= DCQ) = 50°   <=>   ADC = x = 30°   Q.E.D.



Create Date : 22 กันยายน 2557
Last Update : 22 กันยายน 2557 0:13:00 น.
Counter : 675 Pageviews.

0 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog