Fun Geometry Problem with Solution #35
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 15°
พิสูจน์



(1) ∠BDC = 3x

(2) ∵ BC = CD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠CBD = ∠BDC   <=>   ∠CBD = 3x

(3) กำหนดจุด P ภายใน ∆BCD ที่ทำให้ ∠DBP = x และ ∠BDP = 2x   <=>   ∠CBP = 2x และ ∠CDP = x
จะเห็นว่า ∆BDP ≅ ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DBP = ∠ACD, BD = AC, ∠BDP = ∠CAD)   =>   BP = CD

(4) สังเกตว่า ☐BCDP เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี BC = BP = CD, ∠B = 2x และ ∠D = x   =>   ∠BCD = 120° - 2x (คลิกเพื่อดูวิธีการพิสูจน์ในโจทย์ 1)

(5) พิจารณา ∆BCD จะได้ว่า ∠CBD + ∠BCD + ∠BDC = 180°   <=>   3x + (120° - 2x) + 3x = 180°   <=>   x = 15°   Q.E.D.



Create Date : 05 สิงหาคม 2557
Last Update : 5 สิงหาคม 2557 0:01:08 น.
Counter : 1031 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #34
โจทย์



กำหนดให้ AB = CD
จงพิสูจน์ว่า x = 11.25°
พิสูจน์ (idea การสร้างรูป โดยคุณ Hephaestuz)




(1) ∠ADC = 10x 

(2) กำหนดให้จุด D' เป็นภาพสะท้อนของจุด D ผ่าน AC   =>   ∆ACD' ≅ ∆ACD   =>   ...
     • CD' = CD   <=>   CD' = AB
     • ∠ACD' = ∠ACD   <=>   ∠ACD' = x   <=>   ∠BCD' = 6x   <=>   ∠BCD' = ∠ABC
     • ∠AD'C = ∠ADC   <=>   ∠AD'C = 10x

(3) ∵ CD' = AB และ ∠BCD' = ∠ABC   =>   ☐ABCD' เป็น ☐คางหมูหน้าจั่ว ที่มี AD' และ BC เป็นด้านคู่ขนาน   =>   AD' // BC   <=>   ∠BCD' + ∠AD'C = 180°   <=>   6x + 10x = 180°   <=>   x = 11.25°   Q.E.D.



Create Date : 02 สิงหาคม 2557
Last Update : 2 สิงหาคม 2557 0:00:49 น.
Counter : 976 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #33
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 54°
พิสูจน์



(1) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   <=>   AO = BO = CO
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AOC = 2(∠ABC) และ ∠BOC = 2(∠BAC)   <=>   ∠AOC = 60° และ ∠BOC = 48°

(2) ∵ AO = CO   <=>   ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O (= 60°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠CAO = ∠ACO = 60°
∴ ∆ACO เป็น ∆ด้านเท่า   <=>   AC = AO = CO
∵ ∠CAO = 60°   <=>   ∠BAO = 36°
∵ AO = BO   <=>   ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด   <=>   ∠ABO = ∠BAO   <=>   ∠ABO = 36°
∵ AC = AO   <=>   BD = BO   <=>   ∆BDO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 36°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BOD (= ∠BDO) = 72°   <=>   ∠COD = 24°   <=>   ∠AOD = 36°   <=>   ∠AOD = ∠DAO   <=>   ∆ADO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   AD = DO

(3) สังเกตว่า ∆ACD ≅ ∆CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AC = CO, AD = DO, CD = CD)   =>   ∠ACD (= ∠DCO) = (∠ACO)/2 = 30°   <=>   ∠BDC = x = 54°   Q.E.D.



Create Date : 30 กรกฎาคม 2557
Last Update : 30 กรกฎาคม 2557 2:09:04 น.
Counter : 1050 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #32
โจทย์ 1



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = 120° - 2α
พิสูจน์



(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = CP
สังเกตว่า ∆CDP ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CD = AD, CP = AP, DP = DP)   ⇒   ∠DCP = ∠DAP   ⇔   ∠DCP = α   ⇔   ∠BCP = α

(2) สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = CD, ∠BCP = ∠DCP, CP = CP)
∴ ∆ADP ≅ ∆BCP ≅ ∆CDP   ⇒   ∠APD = ∠BPC = ∠CPD
∵ ∠APD + ∠BPC + ∠CPD = 360°   ⇒   ∠APD = 120° และ ∠CPD = 120°
พิจารณา ∆ADP และ ∆CDP จะได้ว่า ∠ADP = 60° - α และ ∠CDP = 60° - α   ⇒   ∠ADC = x = 120° - 2α   Q.E.D.


โจทย์ 2


กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า AD = BC = CD
พิสูจน์



(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = CP
สังเกตว่า ∆CDP ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CD = AD, CP = AP, DP = DP)   ⇒   ∠DCP = ∠DAP   ⇔   ∠DCP = α   ⇔   ∠BCP = α
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CDP = ∠ADP
∵ ∠ADP + ∠CDP = 120° - 2α   ⇔   ∠ADP = 60° - α และ ∠CDP = 60° - α
พิจารณา ∆ADP และ ∆CDP จะได้ว่า ∠APD = 120° และ ∠CPD = 120°
∵ ∠APD + ∠BPC + ∠CPD = 360°   ⇒   ∠BPC = 120°

(2) สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BCP = ∠DCP, CP = CP, ∠BPC = ∠CPD)   ⇒   BC = CD
∴ AD = BC = CD   Q.E.D.


โจทย์ 3



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = α
พิสูจน์



(1) ∵ AD = CD   ⇔   ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 120° - 2α) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CAD = 30° + α และ ∠ACD = 30° + α (⇔ ∠ACB = 30° - α)

(2) กำหนดจุด P เหนือ AC ที่ทำให้ AP = CP = AC   ⇔   ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠ACP = 60° (⇔ ∠DCP = 30° - α) และ ∠APC = 60°
จะเห็นว่า ∆CDP ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CD = AD, CP = AP, DP = DP)   ⇒   ∠CPD = ∠APD = (∠APC)/2 = 30°

(3) สังเกตว่า ∆ABC ≅ ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = CP, ∠ACB = ∠DCP, BC = CD)   ⇒   ∠BAC = ∠CPD   ⇔   ∠BAC = 30°   ⇔   ∠BAD = x = α   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 27 กรกฎาคม 2557
Last Update : 19 มีนาคม 2558 15:50:51 น.
Counter : 1255 Pageviews.
 
0 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #31
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 16°
พิสูจน์



(1) กำหนดจุด Q ที่ทำให้ ☐ABQC เป็น ☐คางหมูหน้าจั่ว โดยที่ AB // CQ   =>   ∠BCQ = ∠ABC   <=>   ∠BCQ = 44°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า BQ = AC   <=>   BQ = CP
และ ∠ABQ = ∠BAC   <=>   ∠ABQ = 88°   <=>   ∠CBQ = 44°   <=>   ∠CBQ = ∠BCQ   <=>   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   CQ = BQ   <=>   CQ = CP

(2) ∵ AP = BP   <=>   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAP = ∠ABP   
∵ ∠BAC = ∠ABQ และ ∠BAP = ∠ABP   =>   ∠BAC - ∠BAP = ∠ABQ - ∠ABP   <=>   ∠CAP = ∠PBQ

(3) จะเห็นว่า ∆BPQ ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BQ = AC, ∠PBQ = ∠CAP, BP = AP)   =>   PQ = CP
∴ CP = CQ = PQ   <=>   ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠PCQ = 60°   <=>   x + 44° = 60°   <=>   x = 16°   Q.E.D.



Create Date : 24 กรกฎาคม 2557
Last Update : 24 กรกฎาคม 2557 0:00:44 น.
Counter : 1129 Pageviews.
 
0 comment
Share
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  
TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog