Fun Geometry Problem with Solution #5
โจทย์เรขาคณิตที่จะนำเสนอในบล็อกนี้ เป็นโจทย์เก่าที่ คุณ toxicobkk (ปัจจุบันใช้ชื่อว่า GeometryIsFun) เคยนำมาโพสต์ถามในห้องหว้ากอเมื่อปีที่แล้ว (Link: //pantip.com/topic/30123950) ซึ่ง คุณ toxicobkk ก็ได้เฉลยโจทย์ข้อดังกล่าวด้วยวิธีที่เรียบง่าย (โดยมีเงื่อนไข คือ ต้องใช้วิธีทางเรขาคณิต ห้ามใช้ความรู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมคล้ายและทฤษฎีบทพีธากอรัส) ไว้ในความคิดเห็นที่ 7 
ต่อไปนี้ ผมจะนำเสนอการแก้โจทย์ข้อนี้อีกวิธีหนึ่งด้วยเงื่อนไขเดียวกัน

โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 15°
พิสูจน์



(1) ADC = 3x

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ CPD = 2x   <=>   CPD = DCP   <=>   CDP เป็น หน้าจั่ว ที่มี D เป็นมุมยอด   <=>   CD = DP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า BDP = x   <=>   BDP = DBP   <=>   BDP เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   <=>   BP = DP   <=>   BP = CD

(3) กำหนดจุด Q ภายใน ACD ที่ทำให้ DAQ = x และ ADQ = x   <=>   CAQ = x และ CDQ = 2x
จะเห็นว่า ADQ  BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (DAQ = BDP, AD = BD, ADQ = DBP)   =>   AQ = DP และ DQ = BP   <=>   AQ = CD และ DQ = CD

(4) สังเกตว่า ☐ACDQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AQ = DQ = CD, ∠A = x และ ∠D = 2x   =>   ∠C = 120° - x (คลิกเพื่อดูวิธีการพิสูจน์ในโจทย์ 1)

(5) พิจารณา ACD จะได้ว่า CAD + ACD + ADC = 180°   <=>   2x + (120° - x) + 3x = 180°   <=>   x = 15°   Q.E.D.



Create Date : 07 พฤษภาคม 2557
Last Update : 2 กันยายน 2557 1:56:50 น.
Counter : 951 Pageviews.

1 comment
Fun Geometry Problem with Solution #4
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10o
พิสูจน์



(1) ∵ PB = PC   <=>   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠CBP = ∠BCP   <=>   ∠CBP = 2x   <=>   ∠APC = 4x

(2) กำหนดจุด Q ภายใน ∆ACP ที่ทำให้ ∆APQ  ∆BCP   =>   ∠PAQ = 2x ∧ ∠APQ = 2x   <=>   ∠QAR = x ∧ ∠QPR = 2x

นอกจากนั้น ยังได้ว่า AQ = PQ = BC

(3) กำหนดจุด R บน AC ที่ทำให้ AR = PR
สังเกตว่า ∆AQR ≅ ∆PQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AQ = PQ, AR = PR, QR = QR)   =>   ∠QPR = ∠QAR   <=>   ∠QPR = x   <=>   ∠CPR = x
สังเกตว่า ∆CPR ≅ ∆PQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CP = PQ, ∠CPR = ∠QPR, PR = PR)   =>   ∆AQR ≅ ∆CPR ≅ ∆PQR   =>   ∠ARQ = ∠CRP = ∠PRQ
แต่ ∠ARQ + ∠CRP + ∠PRQ = 180o   =>   ∠CRP = 60o

พิจารณา ∆CPR จะได้ว่า ∠PCR + x + 60o = 180o   <=>   ∠PCR = 120o - x

พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า 3x + (120o - x) + 4x = 180o   <=>   x = 10o Q.E.D.



Create Date : 04 พฤษภาคม 2557
Last Update : 4 พฤษภาคม 2557 22:00:32 น.
Counter : 788 Pageviews.

1 comment
Fun Geometry Problem with Solution #3
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 20°
พิสูจน์ (Franzua Inf)



(1) ∠APC = 50°

(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน AC      ∆ACQ  ∆ACP      AQ = AP, ∠CAQ = ∠CAP = 30° และ ∠AQC = ∠APC = 50°
∵ AP = AQ และ ∠PAQ = 60°      ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า      AP = PQ
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠APQ = ∠AQP = 60°      ∠CPQ = ∠CQP = 10°

(3) ∵ ∠CBP = ∠CQP      ☐BPCQ สามารถแนบในวงกลมได้      ∠CBQ = ∠CPQ และ ∠BQP = ∠BCP      ∠CBQ = 10° และ ∠BQP = x

(4) สังเกตว่า AP = PQ และ ∠APQ = 2(∠ABQ)      จุด P เป็น circumcenter ของ ∆ABQ      BP = PQ      ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด      ∠BQP = ∠PBQ      x = 20°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 02 พฤษภาคม 2557
Last Update : 12 มิถุนายน 2558 12:55:00 น.
Counter : 870 Pageviews.

1 comment
Fun Geometry Problem with Solution #2
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์



(1) ∵ AC = BC      ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ABC = ∠BAC   ⇔   ∠ABC = 5x   ⇔   CBP = 4x
พิจารณา ☐ABPC จะได้ว่า BPC (มุมใหญ่) = 360° - 7x   ⇔   BPC (มุมเล็ก) = 7x

(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ = AP   ⇔   APQ เป็น หน้าจั่ว ที่มี P เป็นมุมยอด   ⇔   AQP = PAQ   ⇔   AQP = 3x   ⇔   BPQ = 2x
สังเกตว่า BPQ  ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (PBQ = ACP, BPQ = CAP, PQ = AP)      BP = AC      BP = BC   ⇔   BCP เป็น หน้าจั่ว ที่มี B เป็นมุมยอด   ⇔   BCP = BPC   ⇔   BCP = 7x

(3) พิจารณา BCP จะได้ว่า CBP + BCP + BPC = 180°      4x + 7x + 7x = 180°      x = 10°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 29 เมษายน 2557
Last Update : 13 มกราคม 2558 1:22:00 น.
Counter : 975 Pageviews.

1 comment
Fun Geometry Problem with Solution #1
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) กำหนดจุด P บน CD ที่ทำให้ ∠DBP = 24°      ∠DBP = ∠BDP      ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด      BP = DP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPC = 48°      ∠BPC = ∠BCP      ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด      BC = BP      BC = DP

(2) กำหนดจุด O ใต้ AC ที่ทำให้ ∠CAO = 24° และ ∠ACO = 24°      ∠AOC = 132°
จะเห็นว่า ∆ACO  ∆BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠CAO = ∠DBP, AC = BD, ∠ACO = ∠BDP)      AO = BP (= DP) และ CO = DP
∴ AO = BC = CO

(3) สังเกตว่า AO = CO และ ∠AOC = 2(∠ABC)      จุด O เป็น circumcenter ของ ∆ABC      AO = BO = CO (= BC)
∵ BC = BO = CO      ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า      ∠BOC = 60°
∵ จุด O เป็น circumcenter ของ ∆ABC      2(∠BAC) = ∠BOC      2x = 60°      x = 30°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 28 เมษายน 2557
Last Update : 12 มิถุนายน 2558 13:06:00 น.
Counter : 1842 Pageviews.

1 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog