Fun Geometry Problem with Solution #5
โจทย์เรขาคณิตที่จะนำเสนอในบล็อกนี้ เป็นโจทย์เก่าที่ คุณ toxicobkk (ปัจจุบันใช้ชื่อว่า GeometryIsFun) เคยนำมาโพสต์ถามในห้องหว้ากอเมื่อปีที่แล้ว (Link: //pantip.com/topic/30123950) ซึ่ง คุณ toxicobkk ก็ได้เฉลยโจทย์ข้อดังกล่าวด้วยวิธีที่เรียบง่าย (โดยมีเงื่อนไข คือ ต้องใช้วิธีทางเรขาคณิต ห้ามใช้ความรู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมคล้ายและทฤษฎีบทพีธากอรัส) ไว้ในความคิดเห็นที่ 7 
ต่อไปนี้ ผมจะนำเสนอการแก้โจทย์ข้อนี้อีกวิธีหนึ่งด้วยเงื่อนไขเดียวกัน

โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 15°
พิสูจน์



(1) ∠ADC = 3x

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ ∠CPD = 2x   <=>   ∠CPD = ∠DCP   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   CD = DP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BDP = x   <=>   ∠BDP = ∠DBP   <=>   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   BP = DP   <=>   BP = CD

(3) กำหนดจุด Q ภายใน ∆ACD ที่ทำให้ ∠DAQ = x และ ∠ADQ = x   <=>   ∠CAQ = x และ ∠CDQ = 2x
จะเห็นว่า ∆ADQ ≅ ∆BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DAQ = ∠BDP, AD = BD, ∠ADQ = ∠DBP)   =>   AQ = DP และ DQ = BP   <=>   AQ = CD และ DQ = CD

(4) สังเกตว่า ☐ACDQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AQ = DQ = CD, ∠A = x และ ∠D = 2x   =>   ∠C = 120° - x (คลิกเพื่อดูวิธีการพิสูจน์ในโจทย์ 1)

(5) พิจารณา ∆ACD จะได้ว่า ∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180°   <=>   2x + (120° - x) + 3x = 180°   <=>   x = 15°   Q.E.D.



Create Date : 07 พฤษภาคม 2557
Last Update : 2 กันยายน 2557 1:56:50 น.
Counter : 1468 Pageviews.
 
1 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #4
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10o
พิสูจน์



(1) ∵ PB = PC   <=>   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠CBP = ∠BCP   <=>   ∠CBP = 2x   <=>   ∠APC = 4x

(2) กำหนดจุด Q ภายใน ∆ACP ที่ทำให้ ∆APQ ≅ ∆BCP   =>   ∠PAQ = 2x ∧ ∠APQ = 2x   <=>   ∠QAR = x ∧ ∠QPR = 2x

นอกจากนั้น ยังได้ว่า AQ = PQ = BC

(3) กำหนดจุด R บน AC ที่ทำให้ AR = PR
สังเกตว่า ∆AQR ≅ ∆PQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AQ = PQ, AR = PR, QR = QR)   =>   ∠QPR = ∠QAR   <=>   ∠QPR = x   <=>   ∠CPR = x
สังเกตว่า ∆CPR ≅ ∆PQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CP = PQ, ∠CPR = ∠QPR, PR = PR)   =>   ∆AQR ≅ ∆CPR ≅ ∆PQR   =>   ∠ARQ = ∠CRP = ∠PRQ
แต่ ∠ARQ + ∠CRP + ∠PRQ = 180o   =>   ∠CRP = 60o

พิจารณา ∆CPR จะได้ว่า ∠PCR + x + 60o = 180o   <=>   ∠PCR = 120o - x

พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า 3x + (120o - x) + 4x = 180o   <=>   x = 10o Q.E.D.



Create Date : 04 พฤษภาคม 2557
Last Update : 4 พฤษภาคม 2557 22:00:32 น.
Counter : 1189 Pageviews.
 
1 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #3
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 20°
พิสูจน์ (Franzua Inf)



(1) ∠APC = 50°

(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน AC   ⇒   ∆ACQ ≅ ∆ACP   ⇒   AQ = AP, ∠CAQ = ∠CAP = 30° และ ∠AQC = ∠APC = 50°
∵ AP = AQ และ ∠PAQ = 60°   ⇒   ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AP = PQ
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠APQ = ∠AQP = 60°   ⇔   ∠CPQ = ∠CQP = 10°

(3) ∵ ∠CBP = ∠CQP   ⇔   ☐BPCQ สามารถแนบในวงกลมได้   ⇒   ∠CBQ = ∠CPQ และ ∠BQP = ∠BCP   ⇔   ∠CBQ = 10° และ ∠BQP = x

(4) สังเกตว่า AP = PQ และ ∠APQ = 2(∠ABQ)   ⇒   จุด P เป็น circumcenter ของ ∆ABQ   ⇒   BP = PQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQP = ∠PBQ   ⇔   x = 20°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 02 พฤษภาคม 2557
Last Update : 12 มิถุนายน 2558 12:55:00 น.
Counter : 1230 Pageviews.
 
1 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #2
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์



(1) ∵ AC = BC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ABC = ∠BAC   ⇔   ∠ABC = 5x   ⇔   ∠CBP = 4x
พิจารณา ☐ABPC จะได้ว่า ∠BPC (มุมใหญ่) = 360° - 7x   ⇔   ∠BPC (มุมเล็ก) = 7x

(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ = AP   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQP = ∠PAQ   ⇔   ∠AQP = 3x   ⇔   ∠BPQ = 2x
สังเกตว่า ∆BPQ ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠PBQ = ∠ACP, ∠BPQ = ∠CAP, PQ = AP)   ⇒   BP = AC   ⇔   BP = BC   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BCP = ∠BPC   ⇔   ∠BCP = 7x

(3) พิจารณา ∆BCP จะได้ว่า ∠CBP + ∠BCP + ∠BPC = 180°   ⇔   4x + 7x + 7x = 180°   ⇔   x = 10°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 29 เมษายน 2557
Last Update : 13 มกราคม 2558 1:22:00 น.
Counter : 1306 Pageviews.
 
1 comment
Share
Fun Geometry Problem with Solution #1
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) กำหนดจุด P บน CD ที่ทำให้ ∠DBP = 24°   ⇔   ∠DBP = ∠BDP   ⇔   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   BP = DP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPC = 48°   ⇔   ∠BPC = ∠BCP   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   BC = BP   ⇔   BC = DP

(2) กำหนดจุด O ใต้ AC ที่ทำให้ ∠CAO = 24° และ ∠ACO = 24°   ⇒   ∠AOC = 132°
จะเห็นว่า ∆ACO ≅ ∆BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠CAO = ∠DBP, AC = BD, ∠ACO = ∠BDP)   ⇒   AO = BP (= DP) และ CO = DP
∴ AO = BC = CO

(3) สังเกตว่า AO = CO และ ∠AOC = 2(∠ABC)   ⇒   จุด O เป็น circumcenter ของ ∆ABC   ⇔   AO = BO = CO (= BC)
∵ BC = BO = CO   ⇔   ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠BOC = 60°
∵ จุด O เป็น circumcenter ของ ∆ABC   ⇒   2(∠BAC) = ∠BOC   ⇔   2x = 60°   ⇔   x = 30°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 28 เมษายน 2557
Last Update : 12 มิถุนายน 2558 13:06:00 น.
Counter : 2514 Pageviews.
 
1 comment
Share
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  
TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog