จงพิสูจน์ว่า x = 30°

(1) ∠ACB = 40°

∵ ∠BAC = ∠ABC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   AC = BC

(2) สร้างวงกลมล้อมรอบ ∆ABC แล้วต่อ AP ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด Q   ⇒   ☐ABQC สามารถแนบในวงกลมได้   ⇒   ∠CBQ = ∠CAQ, ∠BCQ = ∠BAQ และ ∠AQB = ∠ACB   ⇔   ∠CBQ = 40°, ∠BCQ = 30° และ ∠AQB = 40°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPQ = 80°

(3) พิจารณา ∆ABQ จะเห็นว่า ∠A = 30°, ∠Q = 40° และมีจุด P บน AQ ที่ทำให้ ∠BPQ = 80°   ⇒   AP = BQ (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 1-2)

(4) สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BC, ∠CAP = ∠CBQ, AP = BQ)   ⇒   ∠ACP = ∠BCQ   ⇔   x = 30°   Q.E.D.

(1) ∠ACB = 40°

∵ ∠BAC = ∠ABC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   AC = BC

(2) กำหนดจุด Q บน AP ที่ทำให้ CQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ACB   ⇒   ∠BCQ = ∠ACQ = (∠ACB)/2 = 20°

จะเห็นว่า ∆BCQ ≅ ∆ACQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = AC, ∠BCQ = ∠ACQ, CQ = CQ)   ⇒   ∠CBQ = ∠CAQ   ⇔   ∠CBQ = 40°   ⇒   ∠ABQ = 30° และ ∠PBQ = 20°

พิจารณา ∆ABQ และ ∆ACQ จะได้ว่า ∠BQP = 60° และ ∠CQP = 60° ตามลำดับ

(3) พิจารณา ∆BCQ จะเห็นว่า มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ BP และ PQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠CBQ และ ∠BQC ตามลำดับ   ⇒   จุด P เป็น incenter ของ ∆BCQ   ⇒   CP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BCQ   ⇒   ∠BCP (= ∠PCQ) = (∠BCQ)/2 = 10°   ⇔   ∠ACP = x = 30°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 18°

ให้ AD = L   ⇔   BC = L

(1) ∠ACB = 138°

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน AB   ⇒   ∆ABP ≅ ∆ABC   ⇒   AP = AC, BP = BC = L, ∠BAP = ∠BAC = 30° และ ∠ABP = ∠ABC = 12°

∵ AC = AP และ ∠CAP = 60°   ⇒   ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AC = CP

(3) กำหนดจุด Q เหนือ AC ที่ทำให้ AQ = CQ = L

จะเห็นว่า ∆ACQ ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AC = CP, AQ = BC, CQ = BP)   ⇒   ∠AQC = ∠CBP   ⇔   ∠AQC = 24°

∵ AQ = CQ   ⇔   ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 24°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CAQ = 78° และ ∠ACQ = 78° (⇔ ∠BCQ = 144°)

(4) ∵ BC = CQ   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 144°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQC (= ∠CBQ) = 18°

∵ AD = AQ   ⇔   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 108°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQD (= ∠ADQ) = 36°   ⇔   ∠CQD = 12°   ⇔   ∠CQD = ∠CBD   ⇔   ☐BDCQ สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠ADC = ∠BQC   ⇔   x = 18°   Q.E.D.

กำหนดให้ BC = AB + AD + BD

จงพิสูจน์ว่า x = 12°

ให้ AB = a, AD = b และ BD = c   ⇒   BC = a + b + c

(1) ∠ADB = 84°

(2) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ BP = c   ⇒   ∠DBP = 120°

∵ BD = BP   ⇔   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 120°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BPD (= ∠BDP) = 30°

(3) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด A ผ่าน DP   ⇒   ∆DPQ ≅ ∆ADP   ⇒   PQ = AP = a + c, DQ = AD = b และ ∠DPQ = ∠APD = 30°

∵ AP = PQ และ ∠APQ = 60°   ⇒   ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AQ = a + c

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠PAQ = 60°   ⇔   ∠DAQ = 24°

(4) กำหนดจุด R ทางด้านซ้ายของ AD ที่ทำให้ DR = a + c และ ∠ADR = 24°

จะเห็นว่า ∆ADR ≅ ∆ADQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = AD, ∠ADR = ∠DAQ, DR = AQ)   ⇒   AR = DQ   ⇔   AR = b

∵ AD = AR   ⇔   ∆ADR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARD = ∠ADR   ⇔   ∠ARD = 24°   ⇔   ∠DAR = 132°

(5) ต่อ BA ออกไปพบส่วนต่อขยายของ DR ที่จุด S   ⇒   ∠RAS = 12°

พิจารณา ∆ARS จะได้ว่า ∠ASR = 12°   ⇔   ∠ASR = ∠RAS   ⇔   ∆ARS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   ⇔   RS = AR   ⇔   RS = b

(6) สังเกตว่า ∆BCD ≅ ∆BDS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = DS, ∠CBD = ∠BDS, BD = BD)   ⇒   ∠BCD = ∠BSD   ⇔   x = 12°   Q.E.D.

โจทย์ (Kadir Altintas)

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

พิสูจน์ (Kadir Altintas)

(1) ∠APB = 140°

∵ ∠BAP = ∠ABP   ⇔   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   AP = BP

(2) กำหนดจุด Q เหนือ AP ที่ทำให้ AQ = PQ = AP (= BP)   ⇔   ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠APQ = 60° (⇔ ∠BPQ = 160°) และ ∠AQP = 60°

∵ BP = PQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 160°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠PBQ = ∠BQP = 10°

(3) กำหนดจุด R เป็นจุดตัดระหว่าง AC และ BQ

∵ AQ = PQ และ ∠PQR = 2(∠PAR)   ⇒   จุด Q เป็น circumcenter ของ ∆APR   ⇒   ∠ARP = (∠AQP)/2   ⇔   ∠ARP = 30°

∵ ∠PBR = ∠PCR   ⇔   ☐BCRP สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠CBP = ∠ARP   ⇔   x = 30°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 48°

(1) ∠ACB = 96°

(2) ต่อ CB ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠APC = 30°   ⇔   ∠BAP = 24°

พิจารณา ∆ACP จะเห็นว่า ∠C = 96°, ∠P = 30° และมีจุด B บน CP ที่ทำให้ ∠ABC = 54°   ⇒   BP = AC (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 2)   ⇔   BP = b

(3) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด B ผ่าน AP   ⇒   ∆APQ ≅ ∆ABP   ⇒   AQ = AB = a, PQ = BP = b, ∠PAQ = ∠BAP = 24° และ ∠APQ = ∠APB = 30°

∵ BP = PQ และ ∠BPQ = 60°   ⇒   ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BQ = b

(4) สังเกตว่า ∆DEF ≅ ∆ABQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (DE = BQ, DF = AB, EF = AQ)   ⇒   ∠DFE = ∠BAQ   ⇔   x = 48°   Q.E.D.