(1) ∵ จุด I เป็น incenter ของ ∆ABC   ⇒   AI, BI และ CI เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC, ∠ABC และ ∠ACB ตามลำดับ   ⇒   ∠BAI = ∠CAI, ∠ABI = ∠CBI และ ∠ACI = ∠BCI

ให้ ∠ABI = θ   ⇔   ∠CBI = θ

(2) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ AP = AC

∵ AB = AC + CI   ⇔   AP + BP = AC + CI   ⇔   BP = CI

จะเห็นว่า ∆AIP ≅ ∆ACI ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AC, ∠IAP = ∠CAI, AI = AI)   ⇒   IP = CI   ⇔   IP = BP   ⇔   ∆BIP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BIP = ∠IBP   ⇔   ∠BIP = θ

(3) สังเกตว่า CI = IP และ ∠CBI = ∠IBP   ⇒   ☐BCIP สามารถแนบในวงกลมได้   ⇒   ∠BCP = ∠BIP และ ∠ICP = ∠IBP   ⇔   ∠BCP = θ และ ∠ICP = θ

(4) ∵ AC = BC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BAC = ∠ABC   ⇔   ∠BAC = 2θ

∵ ∠ACI = ∠BCI   ⇔   ∠ACI = 2θ

พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°   ⇔   2θ + 2θ + 4θ = 180°   ⇔   θ = 22.5°   ⇔   4θ = x = 90°   Q.E.D.

(1) ∠APC = 150° และ ∠BPC = 110°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆BCP แนบใน   ⇒   ...

     • จุด O อยู่นอก ∆BCP

     • BO = CO = OP

     • ∠BOP = 2(∠BCP)   ⇔   ∠BOP = 80°

     • ∠COP = 2(∠CBP)   ⇔   ∠COP = 60°

∵ CO = OP และ ∠COP = 60°   ⇒   ∆COP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   CP = OP

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CPO = 60°   ⇔   ∠APO = 150°

(3) สังเกตว่า ∆AOP ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (OP = CP, ∠APO = ∠APC, AP = AP)   ⇒   ∠OAP = ∠CAP   ⇔   ∠OAP = 20°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AOP = ∠ACP   ⇔   ∠AOP = 10°   ⇔   ∠AOB = 70°

(4) สังเกตว่า ∆ABO ≅ ∆ACO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BO = CO, ∠AOB = ∠AOC, AO = AO)   ⇒   ∠BAO = ∠CAO   ⇔   ∠BAO = 40°   ⇔   ∠BAP = x = 60°   Q.E.D.

(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 20°   ⇔   ∠ACB = ∠BAC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   AB = BC

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABD แนบใน   ⇒   ...

     • จุด O อยู่เหนือ AD

     • AO = BO = DO

     • ∠BOD = 2(∠BAD)   ⇔   ∠BOD = 60°

∵ BO = DO และ ∠BOD = 60°   ⇒   ∆BDO เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BD = BO

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠DBO = 60°   ⇔   ∠ABO = 40°

∵ AO = BO   ⇔   ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BAO = ∠ABO   ⇔   ∠BAO = 40°   ⇔   ∠AOB = 100°

(3) สังเกตว่า ∆BCD ≅ ∆ABO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = AB, ∠CBD = ∠ABO, BD = BO)   ⇒   ∠BDC = ∠AOB   ⇔   x = 100°   Q.E.D.

(1) ∠CAD = 120° - x และ ∠BDC = 150° - x

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ BP = CD

จะเห็นว่า ∆BDP ≅ ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = AC, ∠DBP = ∠ACD, BP = CD)   ⇒   ∠BDP = ∠CAD   ⇔   ∠BDP = 120° - x   ⇔   ∠CDP = 30°

(3) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆BCD แนบใน   ⇒   ...

     • จุด O อยู่เหนือ BC

     • BO = CO = DO

     • ∠BOD = 2(∠BCD)   ⇔   ∠BOD = 2x

     • ∠COD = 2(∠CBD)   ⇔   ∠COD = 60°

∵ CO = DO และ ∠COD = 60°   ⇒   ∆CDO เป็น ∆ด้านเท่า   ⇔   CD = CO = DO   

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠DCO = 60° และ ∠CDO = 60°   ⇔   ∠BCO = 60° - x และ ∠ODP = 30°

∵ BO = CO   ⇔   ∆BCO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CBO = ∠BCO   ⇔   ∠CBO = 60° - x

(4) สังเกตว่า ∆DOP ≅ ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (DO = CD, ∠ODP = ∠CDP, DP = DP)   ⇒   ∠DOP = ∠DCP   ⇔   ∠DOP = x

(5) ∵ CD = CO   ⇔   BP = BO   ⇔   ∆BOP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BPO = ∠BOP   ⇔   ∠BPO = 3x

พิจารณา ∆BOP จะได้ว่า ∠OBP + ∠BOP + ∠BPO = 180°   ⇔   (60° - x) + 3x + 3x = 180°   ⇔   x = 24°   Q.E.D.

(1) พิจารณา ∆BCD จะได้ว่า ∠ADC = 3x

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ DP = BD   ⇔   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BPD = ∠DBP   ⇔   ∠BPD = 2x   ⇔   ∠CDP = x   ⇔   ∠CDP = ∠DCP   ⇔   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   CP = DP   ⇒   CP = BD

(3) กำหนดจุด Q เหนือ AB ที่ทำให้ ∠DAQ = x และ ∠ADQ = 2x   ⇔   ∠CAQ = 30° - x และ ∠CDQ = x

จะเห็นว่า ∆ADQ ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DAQ = ∠BCD, AD = BC, ∠ADQ = ∠CBD)   ⇒   AQ = CD และ DQ = BD

จะเห็นว่า ∆CDQ ≅ ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (DQ = DP, ∠CDQ = ∠CDP, CD = CD)   ⇒   CQ = CP และ ∠DCQ = ∠DCP   ⇔   CQ = BD และ ∠DCQ = x

พิจารณา ☐ADCQ จะได้ว่า ∠AQC (มุมใหญ่) = 360° - 5x   ⇔   ∠AQC (มุมเล็ก) = 5x

(4) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   ⇒   ...

     • จุด O อยู่ใต้ AD

     • AO = CO = DO

     • ∠AOC = 2(∠ADC)   ⇔   ∠AOC = 6x

     • ∠COD = 2(∠CAD)   ⇔   ∠COD = 60°

∵ CO = DO และ ∠COD = 60°   ⇒   ∆CDO เป็น ∆ด้านเท่า   ⇔   CD = CO = DO   ⇔   AQ = AO

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CDO = 60°   ⇔   ∠ADO = 60° - 3x

∵ AO = DO   ⇔   ∆ADO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DAO = ∠ADO   ⇔   ∠DAO = 60° - 3x   ⇔   ∠OAQ = 60° - 2x

(5) กำหนดจุด R เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน AQ   ⇒   ∆AQR ≅ ∆ACQ   ⇒   ...

     • ∠QAR = ∠CAQ   ⇔   ∠QAR = 30° - x   ⇔   ∠OAR = 30° - x

     • ∠AQR = ∠AQC   ⇔   ∠AQR = 5x

สังเกตว่า ∆AOR ≅ ∆AQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AO = AQ, ∠OAR = ∠QAR, AR = AR)   ⇒   OR = QR   ⇔   OR = BD

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AOR = ∠AQR   ⇔   ∠AOR = 5x   ⇔   ∠COR = x

(6) สังเกตว่า ∆COR ≅ ∆CDQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (OR = DQ, ∠COR = ∠CDQ, CO = CD)   ⇒   CR = CQ

∴ CQ = CR = QR   ⇔   ∆CQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠CQR = 60°   ⇔   10x = 60°   ⇔   x = 6°   Q.E.D.